¿Puede la aleatoriedad ser aleatoria?

En matemáticas, un verdadero generador de números aleatorios es imposible, porque cualquier fórmula define un proceso que, por complejo que sea, no es aleatorio.

Un evento aleatorio no debe estar relacionado con ninguna causa o condición y, por lo tanto, no puede ser causal. Es un hecho bruto por excelencia.

Si hago una lista de todas las condiciones posibles, puedo decir que un evento aleatorio está fuera de ella. Pero, ¿no es esta una regla que determina las condiciones de un evento aleatorio?


Editar: esta pregunta estaba mal, estaba confundiendo 'causal' con 'determinista'.

Aleatorio significa impredecible. Hay incontables muchos TRNG. Entonces, saber que RNG es TRNG no dice mucho sobre RNG dado. Y, bueno, dado que hay innumerables RNG, difícilmente se puede hacer una lista de todos los eventos posibles. Y no puede distinguir entre PRNG y TRNG en una cantidad de tiempo contable.
@rus9384 ¡Gracias! Si aleatorio significa impredecible, ¿es un concepto intrínsecamente relativo?
De acuerdo con la teoría actual de la informática, es impredecible para cualquier máquina de Turing. Zeno Machine, por ejemplo, podría predecir algo que una máquina de Turing no puede. Pero bueno, como no hay cardenal más grande, no hay RNG que no sea predecible para todas las máquinas. RNG que no es predecible para una máquina A debe implementarse en una máquina B que es estrictamente más poderosa que A. Entonces, sí, desde la posición de CS moderno es relativo. Sin embargo, puede haber personas que no estén de acuerdo con esta definición de RNG.
Sospecho que la mayoría de los usos de 'aleatorio' no significan aleatorio sino 'impredecible'. Un evento verdaderamente aleatorio sería inconsistente con un universo gobernado por leyes. De ahí la dificultad de producir números aleatorios. .
@ rus9384 ¿Qué quieres decir con RNG? El número de posibles programas de computadora es contablemente infinito.
@DavidThornley, RNG es un generador de números aleatorios y no tiene que ser computable. Por lo tanto, un conjunto de todos los RNG es mayor que el conjunto de todos los programas de computadora.
@ rus9384 Todavía no sé qué quiere decir con "generador de números aleatorios". ¿Se supone que es algún tipo de proceso que produce números aparentemente aleatorios?
@DavidThornley, está de acuerdo conmigo en que TRNG produce números impredecibles. Entonces, si tomamos una caja negra y vemos que cualquier TM del conjunto de todas las TM da una predicción, no es TRNG. Por lo tanto, TRNG no es computable y no hay TM que pueda ejecutar un procedimiento RNG. Y aún más, no existe tal procedimiento escrito en ningún lenguaje TM.
@ rus9384 Si lo entendí correctamente, lo que dice significa que es imposible predecir un evento aleatorio con el procedimiento que describí en mi pregunta. Lo que supongo con mi argumento de 'lista de todas las reglas/condiciones posibles' es que un evento aleatorio es lógicamente imposible
Bueno, no es lógicamente imposible. Si el universo no permite nada más fuerte que TM, sin embargo, puede haber algo aleatorio fuera de nuestro universo que lo afecte.
@ rus9384 no estoy seguro de haberlo entendido. Este algo aleatorio fuera de nuestro universo debería estar incluido en la lista...
No realmente. Puede que no tenga descripción en nuestro universo, incluso si es infinito.
Los eventos aleatorios no solo son posibles desde el punto de vista lógico sino incluso físico, y los contadores Geiger se utilizan para generar números verdaderamente aleatorios en HotBits , por ejemplo. Las cosas en matemáticas no tienen que estar dadas por fórmulas o reglas. "Evento aleatorio... no puede ser causal" es falso, los eventos cuánticos son causales, estás confundiendo "causal" con "determinista". Las "condiciones posibles" (¿condiciones previas?) no necesitan determinar el resultado y, por lo tanto, es posible que no proporcionen una regla determinista.
@Conifold, gracias por sus notas, tal vez mi introducción sobre TRNG sea confusa. Un evento cuántico no es determinista, pero es estadístico, no aleatorio. Con un evento verdaderamente aleatorio no puedo tener ningún indicio de lo que sucederá, como con un lanzamiento H/T de una moneda ideal.
Tienes una pista de lo que sucederá, es cara o cruz. El experimento cuántico de doble rendija es idéntico en este sentido, una u otra rendija. Y existen formas estándar de convertir variables aleatorias con una distribución en otras con otra mediante transformaciones algebraicas, incluso si las probabilidades no fueran iguales. Por lo tanto, su distinción aleatoria/estadística no tiene sentido, incluso si se pudiera hacer, lo cual no se puede hacer.
@Conifold Tiene razón, edité la pregunta, tal vez podría ser útil para otros. Me preguntaba: si lanzo una moneda ideal, no puedo saber si caerá en H o T. Lo considero un evento aleatorio, pero sigue una regla: H o T, las probabilidades están a la par. Esta es la razón por la cual cuantos más lanzamientos hago, mayor es la posibilidad de obtener un número similar de T y H. Pero, ¿y si las probabilidades mismas pudieran cambiar aleatoriamente? es decir, para 1000 lanzamientos, las probabilidades son mejores para H, de 1001 a 1328 a T y así sucesivamente
Olvida todo ese qrap cuántico. La respuesta es que un proceso verdaderamente aleatorio no sería descriptible por ninguna función computable (por lo tanto, no "descriptible" en absoluto). Su llamada "lista de todas las condiciones posibles" solo está pidiendo una refutación de argumento diagonal, que dejaré que alguien más construya en detalle. El resultado es que si se le da una lista interminable de números generados por un proceso verdaderamente aleatorio, entonces ningún programa, dada la entrada , puede generar el i ^ésimo número en la lista. Solo hay un número infinito contable de programas, pero un número infinito incontable de N-->N funciones.
@Conifold Una afirmación de que algún tipo de RNG es TRNG no es demostrable. E infalsable también.
@JohnForkosh, efectivamente lo que quise decir.
No existe tal cosa como un evento aleatorio . Toda la aleatoriedad está en los efectos . En los eventos probabilísticos la causa no determina su efecto con absoluta precisión, solo la distribución de probabilidad donde aterriza el efecto aleatoriamente .

Respuestas (6)

Un verdadero número aleatorio es aquel que es impredecible, aun conociendo de antemano el estado del Universo. En el caso especial de una serie aleatoria de números, cada número debe generarse con probabilidad independiente de todos los números anteriores. No es posible hacer esto con una fórmula matemática o un programa de computadora, pero es posible usar los principios de la mecánica cuántica (suponiendo que se mantengan) para hacer uno físico.

Los TM cuánticos con memoria ilimitada no son más poderosos que los deterministas.
¿Por qué es posible?
"Un verdadero número aleatorio es aquel que es impredecible, incluso sabiendo de antemano el estado del Universo". -- ¿Crees en esas cosas? ¿No es la aleatoriedad de QM parte de una interpretación y no necesariamente parte de la teoría misma? No sé la respuesta, me pregunto sobre eso. Mucha gente afirma que QM es una fuente de verdadera aleatoriedad. ¿Cómo lo sabes?
Asumir que los principios de la mecánica cuántica realmente se cumplen es tan justificable como suponer que los generadores de números pseudoaleatorios producen números indistinguibles para el observador moderno de los números aleatorios.
Consulte el uso de nsandi.com/ernie para los bonos premium del Reino Unido a fin de crear un número aleatorio para lo que es esencialmente una lotería.
'Gargantuescos sistemas gravitacionales caóticos de tres cuerpos y su irreversibilidad a la longitud de Planck' arxiv.org/abs/2002.04029
Cualquier sistema pseudoaleatorio que reciba la misma semilla producirá los mismos resultados que otra instancia del mismo sistema. Mientras tanto, no es nada difícil generar un sistema que genere aleatoriedad usando el estado del universo, de tal manera que no puedas predecir su resultado por la sencilla razón de que no hay suficientes recursos en todo el universo para hacerlo; en particular, la observación de cualquier parte requiere partes que influyan en el sistema y, por lo tanto, deben ser observadas, lo que requiere más partes de observación... y con este crecimiento exponencial superas el universo observable mucho antes de saber lo suficiente.

En matemáticas, un verdadero generador de números aleatorios es imposible, porque cualquier fórmula define un proceso que, por complejo que sea, no es aleatorio.

Un matemático no usaría una fórmula para generar un número aleatorio. Él o ella simplemente estipularían las propiedades que un número aleatorio podría satisfacer: por ejemplo, para modelar un dado, se pediría un número entero aleatorio extraído del conjunto {1,2,3,4,5,6} y distribuido uniformemente .

Sin embargo, lo que dice es exacto cuando se trata de implementar dicho requisito en una computadora. Entonces tenemos que ser más precisos y especificar un algoritmo.

Un evento aleatorio no debe estar relacionado con ninguna causa o condición y, por lo tanto, no puede ser causal. Es un hecho bruto por excelencia.

Si hago una lista de todas las condiciones posibles, puedo decir que un evento aleatorio está fuera de ella. Pero, ¿no es esta una regla que determina las condiciones de un evento aleatorio?

Este es un extremo, el puramente aleatorio; el otro es puramente determinista. Una tipología adecuada de exploraría las posibilidades intermedias.

La aleatoriedad es inversamente proporcional a la información que tienes. Si tiene la cantidad correcta de información, puede predecir casi cualquier cosa. Entonces, si algo es aleatorio, es porque su cerebro no tiene suficiente información para predecir el resultado.

Hice algunas ediciones menores que puedes revertir o continuar editando. Puede ver las versiones haciendo clic en el enlace "editado". Si tiene referencias de otros que tienen una opinión similar, esto fortalecería su respuesta. ¡Bienvenido a este SE!
"La aleatoriedad es inversamente proporcional a la información que tienes". Creo que te refieres al porcentaje de información que tengo en comparación con toda la información. Bien, eso es cierto. Pero posiblemente haya cosas que ningún cerebro pueda comprender. Ni siquiera uno infinito.

La aleatoriedad estadística es una propiedad matemática de una serie. Significa tanto la falta de cualquier patrón como la imprevisibilidad del próximo elemento de la serie.

La aleatoriedad estadística no distingue entre aleatoriedad verdadera y pseudoaleatoriedad.

La aleatoriedad filosófica (verdadera) es una propiedad de un solo elemento. Significa que el elemento no es seleccionado deliberadamente por nadie ni es producto de un algoritmo (que debe seleccionarse junto con los valores iniciales).

Verdaderamente aleatorio = no intencional

Pseudo-aleatorio = intencional

Me parece que el problema aquí, podría ser una ontología en conflicto. La verdadera aleatoriedad no se puede modelar, las cosas que no se pueden modelar se consideran no completamente entendidas/comprensibles por la física.

La interpretación de muchos mundos de la mecánica cuántica ofrece un contrapunto interesante. No nos encontramos en el universo con un resultado aleatorio, sino en cada universo con cada resultado. Determinismo y, sin embargo, todas las versiones se miran entre sí, tratando de averiguar por qué están en esta rama en particular.

"En matemáticas, un verdadero generador de números aleatorios es imposible, porque cualquier fórmula define un proceso que, por complejo que sea, no es aleatorio".

Voy a señalar que esta pregunta y su respuesta aquí carecen de una descripción clara de lo que constituye un "generador de números aleatorios" en matemáticas, ya que "generador de números aleatorios no es un término técnico. Pero también tiene ningún significado técnico obvio.

La respuesta presentada en esta cita sugiere que se supone que el generador de números aleatorios está definido por una fórmula. Pero, ¿qué tipo de fórmulas cuentan como fórmulas? Esto se deja sin mencionar, aunque sería posible intentar responder la pregunta solo si se especifica.

Eso aborda cómo definir qué tipos de generadores podrían o no ser aleatorios.

Pero también: ¿Qué significa aleatorio aquí ? ¿Cuál es el criterio que debe cumplir un generador para ser clasificado como aleatorio? Esto tampoco es tan fácil de definir. Supongamos que, en el caso más simple, nuestro generador de números aleatorios comenzó a generar una cadena de 0 y 1, y el caso ideal es la mítica moneda justa lanzada repetidamente en una secuencia interminable de (1/2, 1/2) intentos de Bernoulli. En términos generales, las mejores definiciones de una secuencia "aleatoria" parecen requerir que para cada número natural K, cada cadena de 0 y 1 de longitud K ocurra con la frecuencia esperada 1/2^K.

El problema es que para conocer esta frecuencia, a) es necesario conocer una secuencia contable completa de salidas, y b) para cualquier cadena inicial finita de salidas, esa cadena puede ignorarse y la secuencia contable será igual de aleatoria (o not) como lo fue con la cadena inicial finita.

Entonces, por ejemplo, si para n = 1, 2, 3, ... dejemos que la n-ésima salida del generador sea

F(n) = 0 si p(n+1) = 1 (módulo 4),

F(n) = 1 si p(n+1) = -1 (módulo 4)

(donde p(n) denota el n-ésimo número primo)

entonces esto probablemente satisfaría mi definición anterior.

Pero ese "generador" es completamente determinista.