¿Qué significa un punto en un círculo?

Usamos el círculo con una notación de punto en la mecánica continua no lineal. Se define en notación de índice como

$$\begin{align} \left(\boldsymbol{M} ⊙ \boldsymbol{N}\right)_{ABCD}= \dfrac{1}{2}\left(M_{AC}N_{BD}+M_{AD}N_{BC}\right) \end{align}$$ dónde $\boldsymbol{M}$y $\boldsymbol{N}$son tensores de segundo orden. El resultado de esta operación es un tensor de cuarto orden. Puede pensar que está relacionado con el producto exterior de dos matrices o $\boldsymbol{M}\otimes \boldsymbol{N}$en que toma dos tensores de segundo orden y genera un tensor de cuarto orden. Recuerde que el producto exterior se define para dos tensores de segundo orden como

$$\begin{align} \left(\boldsymbol{M} \otimes \boldsymbol{N}\right)_{ABCD}= M_{AB}N_{CD} \end{align}$$

El círculo con una operación de punto$⊙$ocurre cuando se calcula el módulo elástico$\mathbf{\underline{C}}$(un tensor de cuarto orden) de las leyes constitutivas. Los ejemplos incluyen los modelos de materiales Mooney-Rivlin o Neohookean. Para obtener el módulo elástico debes tomar derivadas de tensores con respecto a otros tensores. Por ejemplo,

$$\begin{align} \underline{\mathbf{C}} = 2\dfrac{d\boldsymbol{S}}{d\boldsymbol{C}} \end{align}$$ o en notación de índice como $$\begin{align} \text{C}_{ABCD} = 2\dfrac{\partial S_{AB}}{\partial C_{CD}} \end{align}$$ dónde $\boldsymbol{C}$es el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo y $\boldsymbol{S}$es el segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff. Con base en los modelos constitutivos, que relacionan la tensión en un material con la deformación, resulta $\boldsymbol{S}$es una función de la inversa de $\boldsymbol{C}$. Si lo resuelve, encontrará que tendrá que calcular $\frac{\partial \boldsymbol{C}^{-1}}{\partial \boldsymbol{C}}$. La prueba es un dolor de cabeza pero el resultado sale a la luz. $$\begin{align} \dfrac{\partial \boldsymbol{C}^{-1}}{\partial \boldsymbol{C}} = -\boldsymbol{C}^{-1} ⊙ \boldsymbol{C}^{-1} \end{align}$$ En notación de índice $$\begin{align} \dfrac{\partial C^{-1}_{AB}}{\partial C_{CD}} = -\dfrac{1}{2}\left(C^{-1}_{AC}C^{-1}_{BD}+C^{-1}_{AD}C^{-1}_{BC}\right)=-\left(\boldsymbol{C}^{-1} ⊙ \boldsymbol{C}^{-1}\right)_{ABCD} \end{align}$$ La operación círculo con punto sólo surge porque $\boldsymbol{C}$es una matriz simétrica, es decir, $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{C}^{T}$y $\boldsymbol{C}_{sym}=\dfrac{1}{2}\left(\boldsymbol{C}+\boldsymbol{C}^{T}\right) = \boldsymbol{C}$. Tenga en cuenta que si tomando la derivada de un inverso de un tensor asimétrico con respecto a sí mismo se obtiene $$\begin{align} \dfrac{\partial A_{AB}^{-1}}{\partial A_{CD}}=-A^{-1}_{AC}A^{-1}_{DB} \end{align}$$ y este no es el producto exterior. A esta operación todavía no se le ha dado un símbolo.

Nota:

• el producto exterior$\otimes$también se llama producto tensorial.
• Los índices son letras mayúsculas ABCD ya que en mecánica continua las letras mayúsculas denotan coordenadas Lagrangianas/material (o configuración de referencia). Los índices en minúsculas ijkl denotan coordenadas espaciales/eulerianas.

Anexo: Otros usos que he visto para$⊙$incluir

1. En física, lo he visto significar una fuente puntual como una carga puntual o una fuente de gravedad como un planeta.
2. En física, lo he visto significar que el vector señala fuera de la página. $⊙$. Y$\otimes$significa que la dirección del vector está en la página . He visto esto en E&M para campos B y campos E y mecánica para pares.
3. En matemáticas podría significar un operador de composición de funciones, que asigna funciones a funciones, por ejemplo,$\,f⊙g$.

Esto es para lo que creo que se usa en esa conferencia de redes neuronales de memoria a largo plazo a corto plazo https://www.youtube.com/watch?v=iX5V1WpxxkY&feature=youtu.be a las 46:00.

En matemáticas, las composiciones funcionales generalmente se denotan con un pequeño círculo.$\circ$. Por ejemplo, Euleriano$f(\boldsymbol{x},t)$y lagrangiano$F(\boldsymbol{X},t)$Las descripciones están relacionadas entre sí por una composición de funciones:

$$\begin{align} F(\boldsymbol{X},t)=f(\boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{X},t),t) \textrm{ or } F = f \circ \boldsymbol{\Phi} \end{align}$$

Cuando investigué sobre el símbolo ⊙. Tengo dos cosas:

$1$. En el libro Significado, lógica y lúdica-de Alain Lecomte , el escritor dice que:$U$y$B$dos diseños positivos denotamos el producto tensorial de$U$y$B$por$U$⊙$B$.

$2$. En el libro Dag Prawitz sobre pruebas y significado : el escritor dice que$\alpha⊙\beta$significa que o bien$\beta$es derivable de$\alpha$o es$\alpha$derivable de$\beta$.

Creo que el segundo en e tiene sentido, en cuanto al producto tensorial siempre he visto que se usa el símbolo ⊗. Te proporcioné la información que tenía, espero que te ayude.