Notación de tensor para expresión de matriz 3-D

tengo la expresion

y i = ∑ j X j ⋅ a i j ⋅ Exp ⁡ ( ∑ k b i j k ⋅ X k )

que quiero acortar sin introducir más notación de la necesaria. Por ejemplo, y i = ∑ j a i j ⋅ X j Se puede escribir como y → = A X → sin más explicación.

Entonces, ¿qué pasa con esta expresión para la primera suma anterior,

y → = ( A ∘ Exp ⁡ ( B _ ⋅ X → ) ) ⋅ X →

dónde A es la matriz con entradas a i j y B es la cosa similar a un tensor de tercer orden con entradas b i j k ? Por supuesto, Exp se toma por elementos.

Digo tipo tensorial porque no estoy seguro de qué notación tendría que usar cuando tuviera que usar la notación de índice tensorial, por ejemplo, b k i j o b j k i . Todos los artículos para principiantes sobre la notación tensorial parecen usar el concepto de una base cambiante para determinar qué índice va superíndice o subíndice; sin embargo, solo tengo una sola base, por lo que proceder así no me ayuda mucho.

Actualización: creo que mi pregunta principal es esta: si B _ es un tensor de tercer orden y X un vector, ¿es obvio (o generalmente asumido) que B _ ⋅ X → = ∑ k b i j k ⋅ X k ? ¿O podría entenderse esto como ∑ j b i j k ⋅ X j o incluso ∑ i b i j k ⋅ X i ?

Otra actualización: Similar a la anterior: ¿Qué pasa con X → T ⋅ B _ ? entiendo que como ∑ i X i ⋅ b i j k , pero es esto obvio?

Tengo curiosidad de dónde viene tu expresión deseada. La notación tensorial no está pensada realmente para manejar operaciones de elementos (aparte de la suma y la multiplicación escalar, por supuesto) y, por lo general, el exponencial de un tensor de segundo orden se define como el exponencial matricial .
La exponencial proviene de la ley de Beer-Lambert; la expresión describe un modelo físico de un proceso de propagación de fotones.
En una dirección ligeramente diferente, la convención de suma de Einstein sería útil aquí. Como dijo @MattDickau, en realidad solo es útil para expresiones 'planas', pero es útil (y generalmente más limpio que el enfoque de vector y producto de puntos).
El problema con esa notación es cómo se pronuncia la diferencia entre Exp ⁡ ( ∑ j a i j X j ) y ∑ j Exp ⁡ ( a i j X j ) ? ambos serán Exp ⁡ ( a i j X j ) , Supongo.
Esta es una de las razones por las que existe la convención de sumatoria de Einstein y por las que, pasadas las matrices 2-D, normalmente se escriben todos los sub/superíndices. Hay demasiadas formas diferentes de multiplicar tensores para tener un símbolo diferente para cada caso. Con la suma de Einstein, podrías escribir esto como X i ⋅ a i j ⋅ mi X pag ( b i j k ⋅ X k ) , que algo funciona.
Una cosa que no me gusta de tu " y → = A X → " es que no está claro cuál de los índices de A está siendo contratado con el índice de X . Además, con respecto a su comentario del 27 de enero: La convención de Einstein para Exp ⁡ ( a i j X j ) es que la contracción se produce antes de la exponenciación. Felizmente, eso es realmente lo que quieres.

Respuestas (1)

No creo que haya ninguna convención de notación tensorial estándar para expresiones como la tuya. Tanto su propuesta "tipo tensor" como la versión sugerida por weux082690 tienen sus méritos. En mi opinión, qué versión preferir depende de la frecuencia con la que vaya a utilizar expresiones de este tipo en su trabajo (u otro documento), y cuánto esfuerzo esté dispuesto a invertir para explicar su notación.

Si solo usa la expresión unas pocas veces, es posible que desee una explicación breve y concisa. Luego puede, como en la sugerencia de weux082690, aplicar la convención de suma de Einstein, usando índices superior e inferior para especificar qué índices repetidos se deben sumar (solo aquellos que aparecen como superior e inferior), y con la regla adicional de que la suma se lleva a cabo tan pronto como estos dos índices se hayan encontrado en el orden de evaluación de las operaciones aritméticas.

Por otro lado, su propia notación "similar a un tensor" se ve muy limpia e intuitiva, pero requiere un poco más de explicación en su texto. Esta tarea puede facilitarse si la notación es "estilo Matlab", en el sentido de que las funciones en matrices se evalúan, por defecto, por elementos y que hay una multiplicación de matrices por elementos, indicada por un punto "". en Matlab y en su notación por " ∘ ". Así que le parecerá familiar a la mayoría de los lectores.

Otro aspecto a tener en cuenta es si desea realizar cálculos en la notación compacta o simplemente indicar los resultados. Si desea hacer cálculos en él que sean inteligibles para el lector, debe asegurarse de que la notación obedezca reglas de transformación simples y claras entre expresiones equivalentes.

Nota añadida: con respecto a sus actualizaciones, ¡supongo que solo tiene que decirle al lector en el texto cómo quiere que lo entienda!

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