¿Qué es esta notación de matriz/operador ⊗⊗\otimes?

Es el producto exterior/tensor y definido por$u \otimes v = uv^\top$o alternativamente, puedes pensar en ello como la función

que es, por supuesto, lo que obtienes cuando multiplicas$uv^\top$y$x$juntos.

Nota: también hay un producto de Kronecker que usa el mismo símbolo y la relación es

El producto de Kronecker de dos vectores columna$(a_i), (b_j)$es un vector cuya$(in + j)$-ésima entrada es$a_ib_j$. El producto exterior es una matriz cuya$(i,j)$-ésima entrada es$a_ib_j$.

En particular, si u y v se escriben como matrices de "columna",$u= \begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$y$v= \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$, entonces$v^T= \begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}$, una matriz de "fila", y$uv^T= \begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}=$$\begin{pmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\ u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\ u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3 \end{pmatrix}$, una matriz de 3 por 3.