¿La notación de flecha para vectores "no es matemáticamente madura"?

Un signo de madurez matemática es la conciencia de que la verdad es invariable bajo cambios de notación.

Un problema principal con el marcado de vectores con una flecha es que depende del contexto lo que se considera un vector.

Decidamos marcamos un elemento$\mathbb{R}^3$como un vector, entonces escribimos$\vec{v}$para ello. Ahora, queremos multiplicarlo por un$3\times 3$matriz, como es una matriz no hay flecha, o si? Después de todo el$3\times 3$las matrices forman un espacio vectorial ya veces usamos esa estructura. Entonces,$\vec{A}$?

Por ejemplo, cuando demostramos que para$P$el polinomio caracteristico que tenemos$P(\vec{A})= 0$. Espera, ¿no hemos visto los polinomios como un ejemplo de un espacio vectorial de dimensión infinita? ¿Debería ponerse una flecha allí también? Entonces podemos tener$\vec{P}(\vec{A})\vec{v}$!

Traté de escribir esto un poco juguetón. Pero el punto serio es que uno realmente cambia el punto de vista con cierta frecuencia al hacer matemáticas, y la noción de 'vector' no es tan clara, ya que muchas estructuras son (también) espacio vectorial.

En matemáticas algo avanzadas (puras), no es muy común usar la notación con una flecha para marcar elementos como vectores específicamente. Pero, si en algún contexto parece útil, tampoco hay problema.

Como dijo Nox, depende de tu preferencia.

Por lo general, está bien no tener una flecha sobre sus vectores siempre que defina que son vectores. Aunque en cualquier caso, realmente, deberías definirlo como un vector con o sin flecha. Una vez que dices "Sea v un vector", no se necesita ninguna flecha. Si no recuerdo mal, uno de mis profesores de álgebra lineal no usó flechas en los suyos, mientras que mi otro profesor, que es algebrista, usa flechas. Si usa muchos escalares y vectores, usar flechas puede ser útil. Nuevamente, es una cuestión de preferencia, conveniencia y la "situación" en la que se encuentra. Si hubiera numerosos escalares y vectores con los que estuviera tratando, usaría flechas para que sea más fácil detectar cuál es un vector y cuál no. .

La notación indica cierta madurez matemática pero no dice mucho. Creo que la precisión es un factor mayor. Un matemático "maduro" podría poner una flecha sobre v sin definirlo (aunque a quién engañamos, dudo que exista tal matemático, es una práctica mediocre). Un matemático más maduro definiría lo que quieren decir con v-arrow (o simplemente v) desde el principio. Así que define lo que quieres decir y estarás a salvo.

Muchas respuestas precisas, pero quiero discrepar con este sentimiento:

En última instancia, solo quiero una respuesta de sí o no, para que al menos no parezca un escritor inmaduro cuando escriba mis propios artículos algún día.

Hay demasiada escritura matemática que está ofuscada porque el escritor quiere parecer elegante. Si alguna vez surge este problema, pregúntese si su artículo es más fácil de leer con o sin la notación, y escriba en consecuencia. Esa debería ser la única pregunta.

No. ( Estos son caracteres de relleno para alcanzar el límite de 30 ).

A$2\times2$matriz real es un vector en el espacio vectorial de$2\times2$matrices. el polinomio$t^2+t+3$es un vector en el espacio vectorial de polinomios de grado máximo tres. La función$\sin(x)$es un vector en el espacio de funciones continuas. ¿Deberíamos poner flechas en estos?

El problema es que casi todo es un vector.

Creo que la confusión radica en el término "vector". La mayoría de la gente piensa primero en un elemento en$\mathbb{R}^n$cuando escuchan vector, tal vez se les presentaron vectores como ese en la escuela, o simplemente son los más comunes con los que trabajan. Y luego la flecha sobre el símbolo tiene perfecto sentido.

Pero en matemáticas, un vector se define como un elemento en un espacio vectorial, y eso puede ser prácticamente cualquier estructura.$\mathbb{R}^n$es solo el ejemplo más común, pero las funciones, las matrices, todos los campos (en particular, los escalares) y muchos más también son vectores.

Entonces, en lo que a mí respecta, si dices "deja$v$ser un vector", una flecha sería engañosa, si no incorrecta, ya que implica la imagen incorrecta: de ninguna manera$v$tiene que ser una "flecha".

Creo que es un problema de madurez en un sentido, que es que cuando se le presenta por primera vez a los vectores, es probable que sea la primera vez que esté expuesto al hecho de que hay dos operaciones diferentes, ambas llamadas multiplicación y ambas escritas de la misma manera. camino _ Debe aprender que puede multiplicar escalar por escalar o vector por escalar, pero no vector por vector. Y preferiblemente entender por qué. El mismo problema para la suma, puede agregar dos escalares o dos vectores, pero no un vector a un escalar.

Por lo tanto, hay un período crítico en el que te confundirás mucho si no distingues cuidadosamente entre ellos. Escribir constantemente vectores y escalares de manera diferente probablemente ayudará con esto.

Sin embargo, una vez que comprende la diferencia y se ha acostumbrado a distinguirlos en su mente, es menos útil escribirlos de manera muy diferente y puede convertirse en una sobrecarga molesta. Reservar cartas sigue siendo útil y, por lo general, es suficiente para recordar qué es cada cosa. Entonces, poner flechas o subrayados en todas partes parece demasiado. En el texto compuesto, puede continuar usando negrita para los vectores porque no hace que las cosas se vean mucho más ocupadas en la página, pero al escribir, creo que la mayoría de la gente lo deja.

Sin embargo, no creo que esto signifique que los que no lo dejan son inmaduros, solo que aquellos que son inmaduros probablemente no deberían dejarlo todavía.

Además, como dice la respuesta de quid, eventualmente tendrá que lidiar con más de un espacio vectorial a la vez, momento en el cual tener una convención de notación que distinga "vectores en mi espacio vectorial" de "todo lo demás" no es suficiente de todos modos. Entonces, a medida que madura, debe confiar en otros medios para comprender qué tipo de entidad es cada cosa.

Quizás fuera de tema, pero hay algo relacionado en la programación de computadoras llamado "Notación húngara de sistemas", donde cada nombre de variable contiene un prefijo que indica el tipo de datos de la variable. Casi todo el mundo odia esto, porque en la práctica es demasiada repetición de la misma información. En realidad, es bastante difícil lograr el equilibrio "correcto" porque es cuestión de gustos. Uso de letras mayúsculas matemáticas para entidades especiales$\mathbb{R}$, letras latinas vs. griegas para vectores vs. escalares,$n$por un entero,$q$por un racional,$x$de verdad,$v$para un vector,$a$por un coeficiente y$f$para una función, mayúsculas para matrices, todos parecen perfectamente sensatos para la mayoría de los matemáticos, aunque ninguno es esencial. Sin embargo, colgar decoraciones de tus letras comienza a cruzar una línea y, por lo tanto, menos personas se molestan.

Me opondré al consenso aquí y diré que sí , en igualdad de condiciones, poner flechas en las cantidades vectoriales es una leve señal de que el autor o la audiencia prevista son estudiantes principiantes o físicos.

Hay varias razones por las que los autores matemáticos más "maduros" evitan la notación:

• Poner una flecha sobre todo al escribir Tex se vuelve molesto muy rápidamente;
• Si el artículo está bien escrito, no debe haber confusión sobre qué es una cantidad vectorial o escalar, independientemente de la presencia de la flecha;
• El espacio sobre los nombres de las variables es un bien inmueble valioso, y la flecha entra en conflicto con sombreros, tildes, etc. que quizás desee usar para algunas variables en su lugar.

Pero, de nuevo, es sólo una leve señal. Use la notación que considere mejor para asegurarse de que su audiencia pueda entender fácilmente su escritura.

En mi experiencia,$\overset{\rightharpoonup}{v}$y$\mathbf{v}$se utilizan más a menudo en ciencia e ingeniería (incluso a nivel de investigación). Esto explica por qué a menudo se usan en cursos de matemáticas de división inferior, ya que en este punto la mayoría de la clase no se especializa en matemáticas. A medida que avanza en matemáticas, comienza a ver espacios vectoriales como números reales y espacios de funciones, y tiene menos sentido pensar en los vectores como "diferentes" de las otras cosas con las que está trabajando. Una vez que empiezas a escuchar la palabra "módulo" lo suficiente, la notación desaparece casi por completo. Las únicas excepciones que he visto son en geometría diferencial y matemáticas aplicadas. No creo que la notación sea tan inmadura matemáticamente como está asociada con el pensamiento "espacial".

En mi experiencia, esta pregunta es realmente solo eso: notación.

Elija uno y apéguese a él (al menos a lo largo de cada publicación). La mayoría de mis conocidos que son matemáticos simplemente se saltan las flechas, así como los subíndices (es decir,$L^2$en$||\cdot||_{L^2}$) con una observación explícita de que es obvio.

Prefiero mantener las flechas por motivos de claridad, pero puede ser un fastidio seguir escribiéndolas si tienes muchos vectores (y solo vectores).

En una clase de álgebra lineal, las personas tienden a omitir las flechas, porque de lo contrario la notación se vuelve engorrosa, pero no hay nada de malo en usarlas.

Una posible ventaja de la notación de flechas para denotar vectores en$\mathbb{R} ^3$es que si estás usando el vector$\vec{v}$, entonces su módulo se puede escribir como$v$, en lugar de$\vert v\vert$.

De todos modos, la ISO 31-11 acepta tanto$\mathbf{v}$y$\vec{v}$. La APS recomienda solo en negrita.

Me parece que la notación de flecha se usa en los libros de texto de pregrado (¿y me atrevo a decir Ingeniería?) para enfatizar en la notación que la variable no es simplemente un escalar.

@august afirmó correctamente que una vez que decimos "Sea v un vector" es redundante que la notación proporcione un recordatorio.

Sin embargo, los matemáticos usaron la frase "Sea x un Foo" para una gran variedad de valores de "Foo", y estos "Foo" se vuelven cada vez más abstractos. Esto se compara con las matemáticas elementales donde se nos enseña en términos de objetos matemáticos que podemos relacionar con el mundo físico tangible.

Entonces, me parece que el uso o no de la notación de flecha podría ser un efecto secundario natural de la "madurez matemática", ¿y qué? No tiene nada de malo.

Sugeriría que al determinar si usarlo o no, debe pensar en términos de la comprensión de sus lectores de lo que ha escrito, no en cualquier impresión personal que puedan generar. Si la notación de flecha les aclarará las cosas, utilícela.

Al menos en física, los vectores se designan como tales a través de flechas (o subrayados y matrices subrayadas dos veces) con mucha frecuencia, ya que también se necesitan regularmente sus valores absolutos, que luego se escriben simplemente como la misma variable sin decoradores, p.

Diría que la clave al escribir matemáticas es que tu notación sea clara. En libros y artículos, la notación estándar (al menos en los libros que he leído) es usar negrita para los vectores y letras normales para los escalares, pero cuando escribimos en la pizarra no podemos realmente usar caracteres en negrita, por lo que varios profesores usan diferentes estilos para indicar vectores. Cuál usar depende de usted (he visto que se usan flechas, subrayados y líneas superiores), siempre que sea consistente y explique claramente su notación cuando comience. Para matemáticas mecanografiadas, dije que el estándar está en negrita. Esto no significa que las flechas estén mal, pero son más comunes en textos dirigidos a ingenieros o físicos donde los vectores generalmente significan algo con una magnitud y dirección. En mi opinión, una buena señal de madurez matemática es la claridad. Siempre que tenga clara su notación,

Una forma de evitar esto es usar letras griegas para los escalares.

Hay una razón por la que lo evito, y es que escribo a mano casi todas mis matemáticas, escribo a granel, y me ralentiza escribir las flechas sobre mi cabeza. Me ayuda a obtener pensamientos detallados rápidamente para usar la misma notación para escribir esas notas que usaría cuando estoy escribiendo una prueba completa o un razonamiento desde un punto de vista preparado. La negrita no es mejor, al menos para la velocidad (¿Quizás la claridad? Tengo una letra garabateada), pero saber algo de caligrafía ayuda especialmente a hacer trampa y hacer que las distinciones se mantengan claramente dentro del texto. De cualquier manera, si no tengo dos conjuntos de cosas que usen las mismas letras, solo usaré letras sin adornos, del peso de un bolígrafo, y simplemente las dibujaré formalmente limpias. Tengo la sensación de que no estoy solo en esto, y que la adopción de esta práctica influiría en aquellos expuestos a su efecto en un autor' s, lo que sería otra explicación de la gran cantidad de autores que no utilizan flechas ni negritas para distinguir los vectores de otras cosas. También es normal si alguien no hace eso solo porque no siente la necesidad de distinguir los nombres de los vectores de los nombres de los escalares, o ha elegido alguna otra notación suficiente para distinguir vectores y escalares en una fórmula, como un símbolo dedicado y orden de argumentos para el operador de multiplicación escalar (útil para hablar de anillos como un módulo sobre sí mismos). El sombrero sobre los vectores unitarios o simplemente las normalizaciones de otros vectores, por otro lado, es útil para mantener un número pequeño de símbolos y mostrar por el nombre cuando las cosas están relacionadas. t use flechas o negrita para distinguir los vectores de otras cosas. También es normal si alguien no hace eso solo porque no siente la necesidad de distinguir los nombres de los vectores de los nombres de los escalares, o ha elegido alguna otra notación suficiente para distinguir vectores y escalares en una fórmula, como un símbolo dedicado y orden de argumentos para el operador de multiplicación escalar (útil para hablar de anillos como un módulo sobre sí mismos). El sombrero sobre los vectores unitarios o simplemente las normalizaciones de otros vectores, por otro lado, es útil para mantener un número pequeño de símbolos y mostrar por el nombre cuando las cosas están relacionadas. t use flechas o negrita para distinguir los vectores de otras cosas. También es normal si alguien no hace eso solo porque no siente la necesidad de distinguir los nombres de los vectores de los nombres de los escalares, o ha elegido alguna otra notación suficiente para distinguir vectores y escalares en una fórmula, como un símbolo dedicado y orden de argumentos para el operador de multiplicación escalar (útil para hablar de anillos como un módulo sobre sí mismos). El sombrero sobre los vectores unitarios o simplemente las normalizaciones de otros vectores, por otro lado, es útil para mantener un número pequeño de símbolos y mostrar por el nombre cuando las cosas están relacionadas. o haber elegido alguna otra notación suficiente para distinguir vectores y escalares en una fórmula, como un símbolo dedicado y un orden de argumentos para el operador de multiplicación escalar (útil para hablar de anillos como un módulo sobre sí mismos). El sombrero sobre los vectores unitarios o simplemente las normalizaciones de otros vectores, por otro lado, es útil para mantener un número pequeño de símbolos y mostrar por el nombre cuando las cosas están relacionadas. o haber elegido alguna otra notación suficiente para distinguir vectores y escalares en una fórmula, como un símbolo dedicado y un orden de argumentos para el operador de multiplicación escalar (útil para hablar de anillos como un módulo sobre sí mismos). El sombrero sobre los vectores unitarios o simplemente las normalizaciones de otros vectores, por otro lado, es útil para mantener un número pequeño de símbolos y mostrar por el nombre cuando las cosas están relacionadas.