¿Cómo obtuvo el producto exterior su símbolo?

Cajori da los primeros usos de los símbolos lógicos en el volumen 2 de Historia de las Notaciones Matemáticas . Ni Boole ni Schröder utilizaron$\wedge$y$\vee$en álgebra de Boole, sino más bien$\cdot$(o en blanco) y$+$, la idea era hacerlo lo más parecido posible al álgebra. Peirce, en sus conferencias de 1865, aparentemente fue el primero en dar al álgebra booleana su forma moderna, al introducir la disyunción no estricta denotada$\vee$, y el condicional material. usos peano$\smile$para " la clase más pequeña que contiene todas las clases " y$\frown$para " la clase más grande contenida en todas las clases " (no había una distinción clara entre operaciones lógicas y operaciones en clases en ese momento) en Formulaire de Logique (1891). De hecho, ya aparecen en su libro Calcolo Geometrico Secondo l'Ausdehnungslhere di H. Grassmann (1888) , junto con la primera axiomatización moderna de espacios vectoriales y cálculo exterior. Pero son solo para clases, no como cuñas o vees, para multivectores Peano escribe concatenaciones ocasionalmente precedidas por$gr$. Russell y Whitehead volvieron al uso de Peirce en Principia (1910-13), con$\vee$por disyunción y$\cdot$por conjunción. La notación de reunión/unión para celosías llegó incluso más tarde, por lo que no se estableció cuando Cartan estaba desarrollando el cálculo exterior en 1899-1925.

Aunque es común suponer que Cartan introdujo cuñas, no se encuentra ninguna de ellas en sus artículos y monografías sobre el tema, vinculados en ¿ Dónde introdujo Cartan su notación para vectores base y covectores? En su mayoría, solo concatena formas sin ningún símbolo, y muy ocasionalmente escribe corchetes. Mi conjetura es que la parte responsable es su alumno Ehresmann, quien ideó la mayor parte de la simbología y la jerga modernas en el cálculo de variedades en su transformación de 1935-1960 del trabajo de Cartan, vea ¿Cómo obtuvo su nombre el mapa exponencial de la geometría riemanniana ?

En cuanto a la razón, mientras que el uso de$\wedge$y$\vee$en el álgebra de Boole es simétrica es el producto de Boole y Schröder que se convirtió en el de Peano$\frown$, reforzado como producto por Russell y Whitehead. Dado que el producto exterior es definitivamente un producto y no una suma tal vez$\wedge$parecía más adecuado. Alexander y Kolmogorov usaron el "correcto"$\cup$para el producto de taza correspondiente en cohomología en 1935. Pero su espíritu afín es Rota, que invierte audazmente la dirección incluso en el cálculo exterior, consulte Sobre el cálculo exterior de la teoría invariante .

Bien, esto también surgió en un blog interesante, Galileo unbound, de un profesor de física de Purdue. https://galileo-unbound.blog En particular, su parte sobre Grassmann. https://galileo-unbound.blog/2019/12/02/hermann-grassmanns-nimble-wedge-product/ Gracias, también, por su referencia a Ehresmann. Así que miré el Sem. Matemáticas. Julia 1936-1937 en numdam.org. De acuerdo con el obituario de Cartan publicado en Bull AMS, escrito por Chern y Chevalley, fue Anre Weil quien consiguió el seminario de ese semestre dedicado al trabajo de Cartan, que todavía era subestimado, y Weil lo inició. http://www.numdam.org/article/SMJ_1936-1937__4__A1_0.pdfWeil usa principalmente la yuxtaposición para el producto exterior, pero comenta que usará ^ cuando sea aconsejable para evitar confusiones. Luego vienen las conferencias de Henri Cartan, el hijo, que utiliza cuña sistemáticamente. Luego viene Ehresmann, ídem. Entonces lo vemos ahí, y yo no lo veo antes. Pero noté algo interesante. Boulignand, un socio de Cartan, escribió un libro que pretendía ser un requisito previo para la relatividad general. No puedo acceder al libro, pero numdam.org tiene una corrección http://www.numdam.org/article/NAM_1924_5_3__245_1.pdfél publicó. En esa nota, usa ^, pero solo en un contexto en el que simplemente puede significar el producto vectorial vectorial en tres dimensiones. Y uno ve de Cajori que tanto [vw] como v^w eran notaciones comunes para el producto vectorial vectorial. Y, por supuesto, el producto de cuña de Cartan es, para tres dimensiones, el producto vectorial vectorial cuando se aplica a formas únicas. Entonces, me parece que esta es la evolución del producto exterior del producto cruzado más antiguo, y por qué a veces era yuxtaposición, a veces (en Cartan) [$\omega \eta$], y con su hijo y otros en la próxima generación, ^.