¿Cuáles son las diferencias (si las hay) entre la definición de la serie de Dyson y la definición de "entrada/salida" de la matriz SSS?

Question

¿Cuáles son las diferencias (si las hay) entre la definición de la serie de Dyson y la definición de "entrada/salida" de la matriz SSS?

Física
dispersión
teoría de la matriz s
mecánica cuántica
teoría cuántica de campos

pppqqq

Durante mucho tiempo, en mis cursos de QFT, he visto dos definiciones de la $S$ -matriz:

La primera definición, más elemental, se da en la imagen de interacción:

S = T {Exp [- i \int d^{4} X H_{En t}^{I} (X)]} (1),

$S=\text T \lbrace \exp [-i\intop \text d ^4 x \,\mathscr H_{\text {int}} ^I(x)]\rbrace\qquad (1),$ donde el operador

H_{int}^{I}

$\mathscr H _\text{int} ^I$ es la densidad hamiltoniana de interacción evaluada en la imagen de interacción. De acuerdo con esta definición, la amplitud de probabilidad para un estado con asíntota en

| α ⟩

$\vert \alpha \rangle$ dispersarse en un estado sin asíntota

| β ⟩

$\vert \beta \rangle$ es dado por:

S_{β α} = ⟨ β | S | α ⟩ (2) .

$S_{\beta \alpha}=\langle \beta \vert S \vert \alpha \rangle \qquad (2).$

La segunda definición es en términos de estados asintóticos de entrada/salida:

S_{β α} = ⟨ β afuera | α en ⟩ (3) .

$S_{\beta \alpha}=\langle\beta \,\text {out} \vert \alpha \,\text {in}\rangle \qquad (3).$

En mecánica cuántica no relativista, entiendo cómo se relacionan estas dos definiciones, ya que allí se puede escribir la amplitud de dispersión de una onda plana $\vert \mathbf k \rangle$ a una onda plana $\vert \mathbf p \rangle$ como:

S_{pag \leftarrow k} = ⟨ pag | S | k ⟩ = ⟨ pag - | k + ⟩,

$S_{\mathbf p \leftarrow \mathbf k } =\langle \mathbf p \vert S \vert \mathbf k \rangle=\langle \mathbf p -\vert \mathbf k +\rangle,$ dónde

| k \pm ⟩

$\vert \mathbf k \pm\rangle$ son las soluciones "dentro" y "fuera" de la ecuación de Lippmann-Schwinger, o funciones propias generalizadas del hamiltoniano completo.

Entonces, supongo (corríjame si me equivoco) que los estados "dentro" y "fuera" en QFT son los análogos del $\vert \mathbf k \pm \rangle$ 's en dispersión potencial, y de hecho se puede demostrar que $\vert \{\mathbf p_i\}\, \text {in/out}\rangle$ son estados propios de los campos que interactúan hamiltonianos.

Sin embargo, esos estados de "entrada/salida" se construyen de una manera bastante formal, a través de campos asintóticos de entrada/salida construidos ad-hoc, y realmente estoy fallando al ver cómo esta definición $(3)$ debe relacionarse con los más elementales $(1)$ .

Solo para aclarar: entiendo la idea física detrás de la construcción de campos de "entrada/salida" y, probablemente, si no hubiera visto def. $(1)$ , aceptaría $(3)$ tal y como está. Sin embargo, no entiendo la relación matemática entre (1) y (3):

¿Están de acuerdo?
¿Están de acuerdo hasta una fase?
¿Están de acuerdo si se hace alguna suposición, como "hipótesis adiabática"?
¿Cómo puedo probarlo formalmente?

Cualquier ayuda/pensamiento sería apreciada, gracias por la atención.

prahar

Leer Weinberg vol. 1 Capítulo 3. Define la matriz S usando su ecuación (3) en Eq. (3.2.1) y luego en la Sección 3.5 muestra que esto es equivalente a su ecuación (1) en la Ec. (3.5.10).

Respuestas (2)

¿Cuáles son las diferencias (si las hay) entre la definición de la serie de Dyson y la definición de "entrada/salida" de la matriz SSS?

Leer Weinberg vol. 1 Capítulo 3. Define la matriz S usando su ecuación (3) en Eq. (3.2.1) y luego en la Sección 3.5 muestra que esto es equivalente a su ecuación (1) en la Ec. (3.5.10).

Nogueira · Answer 1

Los estados de entrada y salida se definen como soluciones a la ecuación de Lippmann-Schwinger , con la condición de contorno apropiada prescrita por la elección del contorno ( $\pm \varepsilon$ ).

| ψ_{a}^{(\pm)} ⟩ = | ϕ_{a} ⟩ + \frac{1}{mi - H_{0} \pm i ϵ} V | ψ_{a}^{(\pm)} ⟩

$| \psi^{(\pm)}_a \rangle = | \phi_a \rangle + \frac{1}{E - H_0 \pm i \epsilon} V |\psi^{(\pm)}_a \rangle$ Si calculas el

S_{a b} = ⟨ ψ_{b}^{-} | ψ_{a}^{+} ⟩

$S_{ab}=\langle \psi_b^-|\psi^+_a\rangle$ vas a encontrar una relación recursiva para la matriz S.

S_{a b} = d (a - b) - 2 i π d ({mi}_{a} - {mi}_{b}) T_{a b} .

$S_{ab}=\delta(a-b)-2i\pi\delta(E_a-E_b)T_{ab}.$

T_{a b} = V_{a b} + \int d C \frac{V_{C b} T_{a C}}{{mi}_{a} - {mi}_{C} + i ε}

$T_{ab}=V_{ab}+\int dc\frac{V_{cb}T_{ac}}{E_a-E_c+i\varepsilon}$

T_{a b} = ⟨ ϕ_{b} | V | ψ_{a}^{(\pm)} ⟩

$T_{ab} = \langle \phi_b |V|\psi^{(\pm)}_a \rangle$

V_{a b} = ⟨ ϕ_{b} | V | ϕ_{a} ⟩

$V_{ab} = \langle \phi_b |V|\phi_a \rangle$ Si itera esta relación recursiva una y otra vez, se queda con una serie. Esta serie se puede identificar con un orden de tiempo del exponencial deseado si usa eso:

\frac{1}{{mi}_{b} - {mi}_{C} + i ϵ} = - i \int_{0}^{\infty} d t Exp [i ({mi}_{b} - {mi}_{C}) t - ε t]

$\frac{1}{E_b - E_c + i \epsilon}=-i\int_0^{\infty} dt \exp\left[{i(E_b-E_c)t -\varepsilon t}\right]$ Entonces puede ver que las interacciones adiabáticas de encendido y apagado son lo mismo que poner el

\pm i ε

$\pm i\varepsilon$ en la ecuación de Schwinger-Lippmann, es decir, imponiendo la existencia de estados de dispersión de entrada y salida.

En el enfoque LSZ vamos a una raíz diferente. Ya tenemos un hamiltoniano formal (la teoría QFT). Los estados de dispersión podrían construirse a partir de este hamiltoniano buscando estados de larga duración con alguna relación de dipersión. Matemáticamente son polos de la función de correlación de dos puntos. El $Z$ solo se requiere si desea trabajar con estos campos fundamentales dentro del hamiltoniano, como los campos en la función de correlación. Luego, debe asumir que el campo crea y destruye estados diferentes a los de dispersión.

La suposición adiabática está detrás de todos estos enfoques. Está relacionado en última instancia con el hecho de que existen estados de dispersión comportándose como una partícula libre. La diferencia es que en el enfoque de Lippmann-Schwinger tiene partículas físicas asintóticas y en LSZ tiene partículas desnudas que interactúan entre sí y dan lugar a una física.

Estimado Nogueira, gracias. Recientemente he estado leyendo a Weinberg y ahora entiendo que esta es la parte del formalismo que es la misma que en NRQM. Sin embargo, todavía hay algo que tengo que resolver: si uno define los estados de "entrada/salida" como los creados por campos de "entrada/salida", que están definidos por sí mismos por la condición de convergencia débil (esquemáticamente: $\sqrt Z \phi (t) \to \phi _{\text{as}}(t)$ ), ¿cómo ve que esto concuerda con la definición que da la ecuación de Lippmann-Schwinger que mencionas?
Auto-respuesta parcial y aclaración de la pregunta: hablando ingenuamente, me parece que si el formalismo de la serie de Dyson es estrictamente equivalente a un desvío adiabático, entonces debería ser posible configurar todo el formalismo requiriendo una fuerte convergencia $\phi (t) \to \phi _{\text {as}} (t)$ (es decir, si el $V$ se apaga adiabáticamente, el campo que interactúa se libera en el sentido de convergencia fuerte). Sin embargo, cuando hacemos lo de LSZ, obtenemos una constante de renormalización $Z$ eso no aparece en ninguna parte de la serie formal de Dyson. [...]
[...] Por supuesto, también en el enfoque de la serie de Dyson, en algún momento tendrá que volver a normalizar los diagramas infinitos que inevitablemente aparecen. Entonces, tal vez, la pregunta debería ser: ¿Son los enfoques LSZ y Dyson/Lippmann-Schwinger dos esquemas diferentes de renormalización que uno simplemente espera (y descubre) que están de acuerdo para aquellos cálculos donde el apagado adiabático debería ser físicamente irrelevante (en particular , sin estados ligados)? ¿O, por el contrario, existe una prueba matemática rigurosa de la equivalencia de los dos enfoques?
@pppqqq El enfoque de Dyson/Lippamann-Schwinger no hace ninguna suposición sobre la estructura interna del hamiltoniano, la teoría exacta. La única suposición en el enfoque es sobre la existencia del estado de dispersión con alguna relación de dispersión descrita por $H_0$ , el hamiltoniano imperturbable. Esta suposición podría traducirse en el hecho de que el hamiltoniano que interactúa $V=H-H_0$ gira adiabáticamente hacia adentro y hacia afuera. Puedes ver esto por la ec. que se relaciona $\left(\Delta E +i\varepsilon\right)^{-1}$ con la exponencial.
¡Muchas gracias! Tendré que pensar en esto por un tiempo, antes de aceptar la respuesta.
Te recomiendo que leas el capítulo 8 del libro Taylor's scattering book . En especial el operador T 8-c. y la relación con el operador de Moller 8-d., en estos lugares vas a encontrar la razón para poner "amortiguación" en el potencial.
Conozco el libro de Taylor y es muy bueno, especialmente en temas conceptuales. Gracias y @Prahar por las buenas sugerencias.

pppqqq · Answer 2

La respuesta de Nogueira fue realmente útil, solo quería agregar algunos comentarios en retrospectiva.

Cuando escribí esta pregunta, una de las cosas que me confundió fue que no podía ver cómo los estados "dentro" y "fuera" que uno define en la teoría de dispersión formal, a través de, por ejemplo, la ecuación de Lippmann-Schwinger (ver la respuesta de Nogueira) , coincidiría con los estados creados por los campos "dentro" y "fuera" del vacío, por ejemplo:

| pag en ⟩ = i \int d^{3} X F_{pag}^{*} (X) \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} ϕ_{en} (X) | 0 ⟩ .

$\vert \mathbf p \text { in}\rangle=i\intop \text d^3{\mathbf x} f_{\mathbf p }^* (x) \overleftrightarrow {\partial _0} \phi _{\text {in}}(x)\vert 0 \rangle.$

Si uno define el campo "en", para el caso escalar, a través de la combinación lineal:

ϕ_{en} (X) = \int d^{3} pag {a_{en} (pag) F_{pag} (X) + hc},

$\phi _{\text {in}}(x)=\intop \text d ^3\mathbf p \lbrace a_{\text {in}}(\mathbf p )f_{\mathbf p}(x)+\text {h.c.}\rbrace,$ y, a su vez, define

a (p)

$a(\mathbf p )$ como operador de destrucción para los estados "en", entonces la correspondencia es tautológica.

Sin embargo, algunos textos (por ejemplo, Bjorken&Drell), parten de los operadores "dentro" y "fuera" definidos por las ecuaciones de Yang-Feldman:

ϕ_{en} (X) = ϕ (X) - \int d^{4} y Δ_{R} (X - y) j (y),

$\phi _{\text{in}}(x)=\phi (x)-\intop \text d ^4 y \Delta _{R}(x-y)j(y),$ dónde

Δ_{R}

$\Delta _R$ es la función de Green retardada para la ecuación de Klein-Gordon y

ϕ

$\phi$ es el campo interactivo (renormalizado), que satisface:

(◻ + {metro}^{2}) ϕ = j .

$(\square +m^2)\phi =j.$ En este caso, la correspondencia no es inmediatamente obvia, ya que uno tiene que probar que los paquetes de ondas construidos a partir de

ϕ_{in}

$\phi _{\text {in}}$ convergen de hecho (al menos débilmente) a estados libres.

Precisamente estas cuestiones son abordadas en un antiguo artículo de Schweber S., " Sobre el formalismo de Yang-Feldman ", y también (bastante más fácil de leer) en su libro "Introducción a la teoría cuántica de campos", sec. 17d, donde define el campo interior por

ϕ_{en} (X) = {mi}^{i H t} Ω^{+} ϕ (X, 0) (Ω^{+})^{†} {mi}^{- i H t},

$\phi _{\text {in}}(x)=e^{iHt}\Omega^+ \phi (\mathbf x ,0)(\Omega ^+)^\dagger e^{-iHt},$ y prueba que satisface la ecuación de Yang-Feldman.

¿Cuáles son las diferencias (si las hay) entre la definición de la serie de Dyson y la definición de "entrada/salida" de la matriz SSS?

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