Matriz S derivada directamente en términos de la imagen de interacción

Considere un sistema de mecánica cuántica con hamiltoniano

$$H=H_0+H_{\text{int}}.$$

Considerar$H_0$ser independiente del tiempo, por lo que su operador de evolución temporal asociado es$U_0(t,t_0)=e^{-i(t-t_0)H_0}$.

Denotamos por$S(t,t_0)$el operador de evolución temporal asociado a$H$. Lo que entendí de libros como Peskin y Schwartz' es que en el caso de QFT, la matriz S termina definiéndose por

$$\langle f |S|i\rangle = \lim_{t_\pm\to \pm\infty}\langle f | S(t_+,t_-)|i\rangle$$

dónde$|i\rangle,|f\rangle$son estados propios de$H_0$. En otras palabras,$S$se define en términos del operador de evolución temporal del hamiltoniano completo .

Resulta que en las notas de David Tong sobre QFT, hace esto solo con el operador de evolución temporal de la imagen de interacción. En otras palabras, el operador$U(t,t_0)$que evoluciona los estados de la imagen de interacción

$$|\psi(t)\rangle_I=U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle_I$$

Él dice

Esto significa que tomamos el estado inicial$|i\rangle$en$t\to -\infty$, y el estado final$|f\rangle$en$t\to +\infty$, para ser estados propios del hamiltoniano libre$H_0$. En algún nivel, esto suena plausible: en$t\to-\infty$, las partículas en un proceso de dispersión están muy separadas y no sienten los efectos de las demás. Además, intuitivamente esperamos que estos estados sean estados propios de los operadores numéricos individuales$N$, que viajan con$H_0$, pero no$H_{\mathrm{int}}$. A medida que las partículas se acercan, interactúan brevemente, antes de partir nuevamente, cada una siguiendo su propio camino alegre. La amplitud para ir de$|i\rangle$a$|f\rangle$es

$$\lim_{t_{\pm}\to\pm\infty}\langle f | U(t_+,t_-)|i\rangle = \langle f | S |i\rangle$$

donde el operador unitario$S$se conoce como la matriz S.

su$U$operador es el operador de evolución temporal en la imagen de interacción, calculado usando la fórmula de Dyson en términos de$H_{\mathrm{int}}$en la imagen de interacción.

Lo que quiero entender es cómo derivar que la matriz S se puede calcular como lo hace él, usando solo la evolución del tiempo de la imagen de interacción$U$.

Parece que no lo entiendo, porque tengo$S(t,t_0)=e^{iH_0(t-t_0)}U(t,t_0)$de este modo

$$\langle f|S|i\rangle=\lim_{t_{\pm}\to \pm \infty}\langle f |S(t_+,t_-)|i\rangle=\lim_{t_{\pm}\to\pm \infty} \langle f | e^{iH_0(t_+-t_-)} U(t,t_0)|i\rangle$$

entonces usando eso$|f\rangle$es estado propio de$H_0$yo obtengo

$$\langle f | S | i\rangle = \lim_{t_{\pm}\to \pm\infty} e^{i\omega_f (t_+-t_-)} \langle f | U(t_+,t_-)|i\rangle.$$

Así que las definiciones no son las mismas. Ahí está ese exponencial al frente. Y lo que es peor, la exponencial diverge.

¿Qué está fallando aquí? ¿Cómo puedo deducir que estos dos enfoques son iguales?