¿Qué significa que "la compactación se define solo con respecto a la topología del espacio base"?

Al igual que muchas oraciones breves y crípticas que se encuentran en las introducciones de los trabajos de investigación, esta oración de "representación concreta" probablemente pretende ser una apelación a algún tipo de intuición que un lector menos afortunado puede no compartir. En este caso, se trata de una apelación a la comprensión intuitiva de una amplia clase de construcciones de compactación.

Hay muchas, muchas, muchas formas de construir compactaciones incrustando$X$en espacios compactos: Si$f : X \to C$es cualquier incrustación de$X$en un espacio compacto$C$, es decir, un homeomorfismo de$X$en un subespacio de$C$, entonces el cierre de la imagen$\overline{\text{image}(f)}$puede ser considerado como una compactación de$X$.

Echemos$X = (0,1]$Por ejemplo.

Podríamos incrustar$f : (0,1] \to \mathbb R^2$por la fórmula

$$f(x) = (x,\sin(1/x))$$ el subespacio$\text{image}(f) \subset \mathbb R^2$está acotado y, por lo tanto, está contenido en una bola cerrada, que es compacta. El cierre$\overline{\text{image}(f)}$es por lo tanto una compactación de$(0,1]$, conocida como la curva sinusoidal del topólogo (o la mayor parte de la curva sinusoidal del topólogo, al menos, incluida la parte más interesante de la misma). Darse cuenta de$\overline{\text{image}(f)}$se obtiene sumando un segmento de línea a$\text{image}(f)$, a saber$\{0\} \times [-1,+1]$.

O podríamos elegir una incrustación diferente$f : (0,1] \to \mathbb R^2$usando la fórmula

$$f(x) = (r(x) \cos(\theta(x)), r(x) \sin(\theta(x)))$$ dónde$r(x)= 1 - x$y$\theta(x) = \frac{1}{x}$. De nuevo$\text{image}(f)$está acotado, lo que da una compactación$\overline{\text{image}(f)}$que se obtiene de$\text{image}(f)$sumando el círculo unitario a$\text{image}(f)$.

Ahora deja volar tu imaginación: eligiendo "representaciones concretas" del espacio$X = (0,1]$, por ejemplo, representaciones como subconjuntos acotados de un espacio euclidiano$\mathbb R^n$, obtenemos muchas, muchas compactaciones extrañas de$X$.

Lo que esa oración significa, en un sentido bastante tosco e intuitivo, es esto: un$H$-La compactación no es una de estas compactaciones aleatorias, tontas, de "representación concreta".

La definición usual de una compactación$(Y,e)$de un espacio$X$es par de un espacio compacto$Y$y un continuo$e: X \to Y$de modo que$e[X]$es denso en$Y$y$e\restriction X \to e[X]$es un homeomorfismo.

A menudo tomamos$Y$ser Hausdorff y estipular$X$ser no compacto para evitar algunas trivialidades.

En la práctica pretendemos$X \subseteq Y$como un subespacio (como$e$es una incrustación de todos modos) y$X$es denso, y escribe$Y$como$\gamma X$o$\alpha X$o$\beta X$(si tenemos algún tipo de construcción para ir desde$X$a$Y$).