Ampliación de mapas abiertos a compactaciones de Stone-Čech

Dejar$X$ser un espacio Čech-completo, y$Y$un espacio paracompacto. Suponer$f\colon X\to Y$es una sobreyección continua y abierta.

Desde$Y$es completamente regular tenemos que$\beta(Y)$es homeomorfo a$Y$como un subconjunto denso de$\beta Y$(la compactación de Stone-Čech).

Si es así, podemos tomar$\hat f\colon X\to\beta Y$definido como$\beta\circ f$, como una función continua de$X$en un espacio compacto de Hausdorff.

Por la propiedad universal de$\beta X$podemos extender de forma única$\hat f$a un continuo$\tilde f\colon\beta X\to\beta Y$tal que$\tilde f|_{\beta(X)} = \hat f\circ\beta$. En particular$\tilde f$está en$\beta Y$debido a dos razones:

1. $\tilde f$es continua desde un dominio compacto, por lo tanto su imagen es cerrada; y
2. $\tilde f$es sobre un subconjunto denso de$\beta Y$.

Por lo tanto, es en su cierre que es$\beta Y$.

Mi pregunta es si el hecho$Y$es paracompacto nos permite extender el mapa de tal manera que$\tilde f$es también una sobreyección abierta.

(La motivación es escribir una prueba para el teorema mencionado en mi pregunta anterior , y un resultado como el anterior daría una solución rápida al problema. De todos modos, esta pregunta es interesante por sí sola)

Editar (3 de octubre): si en unos días más no hay una respuesta, intentaré publicar esto también en MathOverflow.