Cuando un espacio NO es localmente compacto, ¿tiene residuo denso en su compactación?

Cualquier espacio tiene que ser denso en cualquiera de sus compactaciones (eso es parte de la definición).

Pregunta 1) Cuando el espacio NO es localmente compacto, ¿significa eso que también su resto en cualquiera de sus compactaciones es siempre denso?

Como ejemplo, yo 2 es denso en su compactación Stone-Čech y su resto también es denso allí. Tal vez haya otros ejemplos, pero este fue el primero que me vino a la mente.

Pregunta 2) ¿Puede ocurrir esto también para otras compactaciones que no sean de Stone-Čech, o no?

Estoy asumiendo compactaciones de Hausdorff. Gracias por proporcionar cualquier información.

Para su primera pregunta, existen espacios compactos que no son localmente compactos (compactación de Alexandroff de q ) por lo que proporcionan un contraejemplo.
¿Qué sucede cuando tratas de probar 1? Dejar X Ser completamente regulares y no localmente compactos. Dejar a ∈ X ser un punto sin vecindad compacta en X . Espectáculo a está en el cierre de β X ∖ X . Entonces considere un punto a con un vecindario compacto en X .
¿Cuál es su definición de "compactación"? (En particular, hace una gran diferencia si requiere que sus espacios sean Hausdorff).
@EricWofsey Estoy asumiendo compactaciones de Hausdorff. Agregado a la pregunta.
La redacción de tu pregunta es confusa. Su oración inicial contiene la frase confusa "su compactación", que parece implicar alguna compactación particular, aunque dudo que esa sea la intención. ¿Es su intención decir que "Todo espacio tiene que ser denso en cualquiera de sus compactaciones "?
@GEdgar Lo siento, no entiendo tu prueba. ¿Cómo muestro el a está en el cierre de resto? ¿Y entonces que? Gracias por explicarlo.

Respuestas (2)

Pregunta 1: no.

Dejar X = [ 0 , 1 ] ∖ norte con norte = { 1 / norte ∣ norte ∈ norte } . Este espacio no es localmente compacto porque 0 no tiene ningún barrio compacto. Tiene [ 0 , 1 ] como una compactación, pero aquí tiene norte como un resto que no es denso.

Pregunta 2: Sí.

Daniel Wainfleet ha dado un ejemplo: Tome X = [ 0 , 1 ] ∩ q . Tiene [ 0 , 1 ] como una compactación diferente a la compactación de Stone-Čech, y el resto es denso.

Tengo una P relacionada que aún no he resuelto: Vamos X ser completamente regular, y NINGÚN subconjunto abierto no vacío de X tiene cierre compacto. Si i d X : X → Y es una compactación (donde Y es T 2 ) entonces es Y ∖ X denso en Y ?
@DanielWainfleet Lo pensé, pero no tengo una respuesta.

Dejar Y ser un compacto T 2 espacio. Suponer

D ⫋ C = C ¯ = D ¯ ⫋ Y .
Dejar X ser el subespacio D ∪ ( Y ∖ C ) .

Entonces identificación X : X → Y es una compactación del espacio no compacto X . su resto es C ∖ D , que es disjunto del conjunto no vacío Y ∖ C .

Entonces Y ∖ C es un subconjunto abierto no vacío de Y que es disjunto del resto.

Ejemplo: Con la topología usual, sea Y = [ 0 , 2 ] y C = [ 0 , 1 ] y D = C ∩ q .

@KritikerderElche .La Q es si el resto, en Y, de la compactación de un espacio X no localmente compacto, metro tu s t ser denso en Y, y la A es no.
Borré mi comentario porque no era conveniente.
@DanielWainfleet ¿Cómo puede el D ser subespacio de C y al mismo tiempo su cierre?
@TerezaTizkova. D es denso en C, pero D ≠ C, como se indica y como en el ejemplo.
@KritikerderElche. DE ACUERDO. Comprendido.
Cuando un espacio NO es localmente compacto, ¿tiene residuo denso en su compactación?
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