¿Cuándo es lo mismo la compactación de Stone-Čech que la compactación de un punto?

por el espacio ω 1 (con la topología de orden) tenemos β ω 1 = ω 1 + 1 (o β [ 0 , ω 1 ) = [ 0 , ω 1 ] , si prefiere esta notación), es decir, es un ejemplo de un espacio para el que coinciden la compactación de Stone-Čech y la compactación de un punto (también conocida como compactación de Alexandroff). (Vea, por ejemplo, esta respuesta y este blog ).

¿Existe alguna caracterización conocida de espacios topológicos tal que la compactación de Stone-Čech β X y compactación en un punto ω X ¿son lo mismo?

Respuestas (1)

El siguiente es de un problema en Engelking (Problema 3.12.16, p.234), y acreditado a E. Hewitt, Ciertas generalizaciones del teorema de aproximación de Weierstrass , Duke Math. J. 14 (1947), 419-427:

...[P]or cada espacio de Tychonoff X Las siguientes condiciones son equivalentes

  1. El espacio X tiene una compactación única (hasta la equivalencia).
  2. El espacio X es compacto o | β X ∖ X | = 1 .
  3. Si dos subconjuntos cerrados de X están completamente separados, entonces al menos uno de ellos es compacto.
¡Muchas gracias! En caso de que sean útiles para alguien, aquí hay enlaces al artículo de Hewitt: projecteuclid , doi:10.1215/S0012-7094-47-01435-X , MR , Zentralblatt . (He buscado en Engelking lugares que mencionan las compactaciones de Alexandroff, así que me perdí este).
Estos espacios se denominan "casi compactos" en algunos textos. Creo que esto también es un ejercicio de Anillos de funciones continuas.
@HennoBrandsma tiene razón: el ejercicio 6J en Gillman-Jerison se llama espacios casi compactos y dice que las siguientes condiciones son equivalentes: (1) De dos conjuntos cero disjuntos en X , al menos uno es compacto. (2) | β X − X | ≤ 1 . (3) X ⊂ T implica F ( X ) ⊂ F ( T ) . (4) Cada incrustación de X es una c ∗ -incrustación. (5) Cada incrustación de X es una C-incrustación. (6) La única compactación de X es β X . (7) Cada incrustación de cualquier imagen continua de X es una C-incrustación.
@MartinSleziak: Podría agregar (8): El espacio X admite una uniformidad única. Consulte el Capítulo II, Ejercicio 11 (c) en JR Isbell, Espacios uniformes .
Vale la pena señalar que el primer ordinal incontable es un ejemplo de un espacio no compacto que satisface las condiciones anteriores.
¿Cuándo es lo mismo la compactación de Stone-Čech que la compactación de un punto?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v