¿Las compactaciones de Stone-Čech tienen la propiedad de que los subconjuntos cerrados disjuntos de XXX tienen cierres disjuntos en βXβX\beta X?

Sí, esa es una propiedad especial de las compactaciones de Stone-Cech. De hecho, la propiedad de que dos conjuntos de cero disjuntos cualesquiera en$X$tienen cierres disjuntos en$\beta X$caracteriza la compactación de Stone-Cech. Lo que escribiré aquí se basa en el libro de Gillman y Jerison, "Anillos de funciones continuas".

Para ver esto, supongamos que es un espacio completamente regular$X$denso en$T$con la propiedad de que cualquier continuo$\tau : X \to Y$con$Y$compacto tiene una extensión continua$\bar{\tau} : T \to Y$. Si dos conjuntos cero$A$y$B$de$X$son disjuntos, entonces existe una función$f \in C_b(X)$tal que$f|_{A} = 0$y$f|_{B} = 1$. Entonces$f$es un mapeo continuo en el espacio compacto$\operatorname{cl} (f(X))$, por lo que tiene una extensión continua$\bar{f} \in C(T)$. Pero entonces claramente$\bar{f}|_{A} = 0$entonces$\bar{f}|_{\operatorname{cl}(A)} = 0$, y de manera similar$\bar{f}|_{B} = 1$entonces$\bar{f}|_{\operatorname{cl}(B)} = 1$. Por lo tanto$\operatorname{cl}(A)$y$\operatorname{cl}(B)$son disjuntos.

Por el contrario, suponga dos conjuntos cero disjuntos cualesquiera de$X$tienen cierres disjuntos en$T$. Dejar$\tau : X \to Y$ser un mapeo continuo desde$X$en un espacio compacto$Y$. Desde$X$es denso en$T$, para cada$p \in T$hay un$z$-ultrafiltro$\mathscr{A}_p$en$X$con limite$p$. Además, debido a la suposición de que conjuntos cero disjuntos de$X$tener cierres disjuntos en$T$, este$z$-ultrafiltro es único (porque distinto$z$-los ultrafiltros contienen conjuntos de cero disjuntos). Por lo tanto para cada$p \in T$podemos definir un conjunto$\tau^\# \mathscr{A}_p := \{ E \subset Y : E \text{ is a zero-set and } \tau^{-1}(E) \in \mathscr{A} \}$. Uno puede comprobar rápidamente que$\tau^\# \mathscr{A}_p$es un primo$z$-filtro activado$Y$. Pero$Y$es compacto, por lo que$\tau^\# \mathscr{A}_p$tiene un punto de conglomerado, y por primalidad converge a ese punto de conglomerado, que definimos como$\overline{\tau}(p)$. Así hemos definido un mapeo$p \mapsto \bar{\tau}(p)$que se extiende claramente$\tau$, ya que para cualquier$p \in X$,$p \in \bigcap \mathscr{A}$entonces$\tau(p) \in \bigcap \tau^\# \mathscr{A}_p$. Así que solo tenemos que mostrar$\bar{\tau}$es continuo Dejar$p \in T$, y$F$sea ​​una vecindad de conjunto cero de$\bar{\tau}(p)$. Dejar$F'$ser un conjunto cero cuyo complemento es una vecindad de$\bar{\tau}(p)$contenida en$F$. Por lo tanto$F \cup F' = Y$, así que dejar$Z =\tau^{-1}(F)$y$Z' = \tau^{-1}(F')$, tenemos eso$Z \cup Z' = X$, y entonces$\operatorname{cl}(Z) \cup \operatorname{cl}(Z') = T$, y en particular$T - \operatorname{cl}(Z') \subset \operatorname{cl}(Z)$. Ahora$p \notin Z'$porque$\bar{\tau}(p) \notin F'$, entonces$T - \operatorname{cl}(Z')$es un barrio de$p$, contenida en$\operatorname{cl}(Z)$, entonces$\overline{\tau}(q) \in F$para cada$q \in T - \operatorname{cl}(Z')$. Esto prueba que$\overline{\tau}$es continuo