¿Podemos determinar un número de objetos en una categoría?

¿Hay alguna manera de mirar una categoría y saber si esta categoría tiene cero, uno, contable, infinito o cualquier número particular de objetos?

No, hay que analizar cada categoría por separado. No hay ni puede haber un método general (como en el algoritmo) para resolver eso.

Si tenemos un espacio topológico y tomamos todas sus compactaciones, que forman una categoría, ¿podemos determinar (usando herramientas de teoría de categorías o cualquier otra cosa), cuántos objetos hay en la categoría?

Si$X$es un espacio topológico y$Y$es cualquier conjunto con una biyeccion$f:X\to Y$entonces$Y$se le puede dar una estructura espacial topológica a través de$U\subseteq Y$es abierto si y solo si$f^{-1}(U)$está abierto en$X$. De ese modo$f$se convierte en un homeomorfismo. y por lo tanto si$K$es alguna compactación de algún espacio$X$entonces cualquier conjunto$Y$(equivalente a$K$) se puede convertir en un espacio homeomorfo a$K$, y por lo tanto$Y$puede convertirse en compactación de$X$. Homeomorfo, pero distinto de$K$. Por tanto, la categoría de las compactaciones es al menos tan grande como la categoría de todos los conjuntos de cardinalidad fija, que es una clase propia.

Incluso hasta el homeomorfismo, las compactaciones son al menos tan grandes como la categoría de conjuntos. Si$K$es una compactación de algunos$X$y$Y$es cualquier conjunto, entonces la unión disjunta$K\sqcup Y$Juntos con$\{U |\ U\text{ open in }K\}\cup\{K\sqcup Y\}$topología es un espacio compacto tal que$X$se incrusta en él como un subconjunto denso.

La cosa se vuelve interesante si consideramos solo los espacios de Tychonoff (la construcción anterior nunca es Tychonoff). En esa situación se puede demostrar que si$X$es un espacio de Tychonoff y$K$su compactación de Tychonoff, entonces$|K|\leq 2^{2^{|X|}}$. Y por tanto, a diferencia de otras situaciones, las compactaciones de Tychonoff forman un conjunto, pero sólo hasta el homeomorfismo. Aún así, la cardinalidad precisa depende en gran medida de$X$y no creo que exista tal clasificación.

Editar: voy a mostrar el$|K|\leq 2^{2^{|X|}}$desigualdad cuando$X$es Tychonoff. Por supuesto si$X$es finito, entonces tiene que ser compacto discreto y no podemos incrustarlo en ningún otro espacio compacto de Tychonoff (como un subconjunto denso), por lo tanto$|K|=|X|$.

Ahora asume$X$es infinito y considera$\beta X$, la compactación de Stone-Čech de$X$. Se sabe que toda compactación de$X$es una imagen (incluso cociente) de$\beta X$. Esto se sigue directamente de la propiedad universal de$\beta X$: dada una incrustación$f:X\to K$en compacto$K$con imagen densa, tenemos el mapa inducido$\beta f:\beta X\to K$cuya imagen es al menos$f(X)$. Pero desde$\overline{f(X)}=K$entonces$\beta f(\beta X)=\overline{\beta f(\beta X)}=K$y por lo tanto$\beta f$está sobre. Por lo tanto, la cardinalidad de cualquier compactación es como mucho$|\beta X|$.

ahora como es$\beta X$¿construido? Una forma es construirlo como un cierto subconjunto de$[0,1]^C$dónde$C=\{f:X\to[0,1]\ |\ f\text{ is continuous}\}$con la topología abierta-cerrada (ver la wiki sobre Stone–Čech). Y por tanto toda compactación es de cardinalidad a lo sumo$\frak{c}^{\frak{c}^{|X|}}$dónde$\frak{c}=2^{\aleph_0}$denota la cardinalidad de los reales. Por tanto, la cardinalidad es a lo sumo$2^{\aleph_0\cdot 2^{\aleph_0\cdot |X|}}$. Pero desde$X$es infinito entonces lo anterior se simplifica a$2^{2^{|X|}}$.

Tenga en cuenta que$2^{2^{|X|}}$El límite no se puede mejorar. Es bien sabido que la compactación de Stone-Čech de naturales es de tal cardinalidad. Lo cual, por supuesto, no responde a la pregunta: ¿cuántas compactaciones no homeomórficas hay para un determinado$X$?