Aplicaciones analíticas de la compactación Stone-Čech

No estoy seguro de que esto sea de lo que habla Munkres, pero aquí hay algo de lo que podría estar hablando. Dejar$X$ser un espacio completamente regular y dejar$C_b(X)$ser el anillo de funciones continuas acotadas$X \to \mathbb{R}$. Esta es un álgebra de Banach conmutativa cuando está equipada con la norma sup, y de hecho es un$C^{\ast}$-álgebra cuando está equipada con la involución trivial.

Entonces el espectro de Gelfand de$C_b(X)$es canónicamente isomorfo a$\beta X$; de manera equivalente,$C_b(X)$es canónicamente isomorfo a$C(\beta X)$. Una aplicación aquí es que por el teorema de representación de Riesz , los funcionales lineales positivos en$C_b(X)$se puede identificar con las medidas regulares de Borel en$\beta X$. Un caso especial de esta construcción se describe en el artículo de Wikipedia .

La compactación de Stone-Čech se menciona con frecuencia en el libro Carothers: un curso breve sobre la teoría del espacio de Banach , por lo que esta podría ser una buena suposición de dónde buscar tales aplicaciones.

Una de las aplicaciones es la prueba de Garling del teorema de representación de Riesz para$C(K)$,$K$siendo compacto. La prueba se realiza primero para la compactación de Stone-Čech del espacio discreto y luego se extiende a espacios arbitrarios compactos de Hausdorff.

Puede consultar el Capítulo 16 del libro de Carother, o algunos de los siguientes artículos:

• DJH Garling: Una prueba 'breve' del teorema de representación de Riesz , Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge, 1973 - Volumen 73, Número 03, págs. 459-460
• DJH Garling: Otra prueba 'breve' del teorema de representación de Riesz , Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge, 1986, Volumen 99 / Número 02, pp 261 - 262
• Donald G. Hartig: Revisión del teorema de la representación de Riesz , The American Mathematical Monthly, vol. 90, núm. 4 (abril de 1983), págs. 277-280
• Uno de estos artículos menciona que esta prueba también se puede encontrar en el libro RB Holmes: Análisis funcional geométrico y sus aplicaciones .

Estoy haciendo esta publicación wiki de la comunidad, para que si alguien está más familiarizado con la prueba, pueda agregar más detalles. (Solo sé que existe tal prueba y más o menos entiendo cuáles son las ideas básicas detrás de ella).