¿Qué significa para un grupo ser libre en una variedad de grupos?

Un grupo$N$es gratis en la variedad$\mathcal{V}$si y solo si existe un subconjunto$X$de$N$tal que:

1. $N\in\mathcal{V}$; y
2. $\langle X\rangle = N$; y
3. Para cada$G\in\mathcal{V}$y todo mapa teórico de conjuntos$f\colon X\to G$, existe un único homomorfismo de grupo$\phi\colon N\to G$tal que$\phi|_X = f$.

En otras palabras,$N$es en$\mathcal{V}$y satisface la propiedad universal de "grupo libre en$X$", pero en relación sólo con los grupos en$\mathcal{V}$. A veces decimos que$N$es "relativamente libre" en$\mathcal{V}$(y se dice que los grupos libres habituales son "absolutamente libres").

No es difícil demostrar que$N$es gratis en$\mathcal{V}$si y solo si existe un grupo absolutamente libre$F$tal que$N\cong F/\mathcal{V}(F)$, dónde$\mathcal{V}(F)$es el subgrupo verbal de$F$correspondiente a$\mathcal{V}$: el subgrupo normal más pequeño de$F$tal que el cociente está en$\mathcal{V}$.

El lugar canónico para aprender sobre variedades es Varieties of Groups de Hanna Neumann , Springer-Verlag, 1967, MR 0215899 .