¿Qué significa "contener clases completas de conjugación" (en inglés simple, por favor)?

Estoy tratando de entender la solución a la parte de la pregunta. ( v i . ) abajo:

mesa de grupo

Un subgrupo es invariante si gramo H gramo − 1 = H para cualquier gramo ∈ GRAMO . Esto es equivalente a decir que un subgrupo H es invariante si tiene las mismas clases laterales derecha e izquierda, o lo mismo que decir que debe contener clases de conjugación completas . esto es cierto para { mi } , { mi , D , F } y GRAMO que contienen clases completas, pero no para { mi , A } , { mi , B } y { mi , C } . También desde { mi , D , F } tiene índice dos ( ∣ GRAMO ∣ / ∣ H ∣= 2 ) , de la pregunta 2 y de mi pregunta anterior sabemos que este subgrupo es invariante. Como comprobación, a ver si { mi , A } tiene las mismas clases laterales izquierda y derecha:

Clases laterales izquierdas de { mi , A } son A { mi , A } = { A , mi } , B { mi , A } = { B , F } , C { mi , A } = { C , D }

Clases laterales derechas de { mi , A } son { mi , A } A = { A , mi } , { mi , A } B = { B , D } , { mi , A } C = { C , F }

Vemos que las clases laterales izquierdas no son lo mismo que las clases laterales derechas. Por eso { mi , A } no es un subgrupo invariante. Lo mismo vale para { mi , B } y { mi , C } . Por lo tanto solo { mi } , { mi , D , F } y GRAMO son subgrupos invariantes.

Marqué en rojo la parte que no entiendo. En parte i i i . se encontró que las clases de conjugación son { mi } , { A , B , C } , { D , F } . Entonces (de la cita anterior, la última parte de la solución a v i i . ), { mi , D , F } 'contiene clases completas de conjugación', pero ¿qué significa esto en inglés simple (siempre que sea posible)?

Significa que el subgrupo es la unión de un conjunto de clases de conjugación de GRAMO . O, en otras palabras, si contiene un elemento de una clase de conjugación, entonces contiene todos los elementos de esa clase.
@DerekHolt Gracias por su respuesta, todavía estoy muy confundido, pero { mi , D , F } no contiene elementos { A , B , C } . Entonces, ¿cómo es esto? { mi , D , F } una clase de conjugación 'completa'? Lo siento, sonar estúpido, pero es muy difícil aprender estas cosas por ti mismo.
Considerar GRAMO = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } el grupo de enteros mod 6 . Luego, como grupo abeliano, para cualquier gramo y h , gramo h gramo − 1 = h . Por lo tanto, la clase de conjugación del entero h es { h } . Resulta que { 3 , 4 , 5 } contiene la clase de conjugación completa de todos sus elementos, incluso si no hay ningún elemento de { 0 , 1 , 2 } en eso. (Este es un comentario sobre tu comentario que dice { mi , D , F } no contiene ningún elemento de { A , B , C } .)
La palabra "completo" enfatiza que si se usa cualquier parte de una clase de conjugación, entonces se usa toda la clase de conjugación. Está bien si una clase de conjugación no se usa en absoluto, pero es malo si una clase de conjugación se usa parcialmente. Entonces, {E}, {D,F}, {E,D,F}, {E,A,B,C} y {A,B,C,D,F} se componen de clases de conjugación completas, mientras que {D,A} no lo es (tiene D pero no F, y tiene A pero no B,C).

Respuestas (1)

Para ver eso { mi , D , F } es una unión de clases enteras de conjugación, he aquí el (tedioso) trabajo que debes realizar:

  1. La clase de conjugación de mi , es decir, el conjunto { A mi A − 1 , B mi B − 1 , C mi C − 1 , D mi D − 1 , mi mi mi − 1 , F mi F − 1 } , es igual a { mi } (compruébelo mediante un cálculo tedioso, o más fácilmente al notar que mi es el elemento de identidad del grupo).
  2. La clase de conjugación de D , es decir, el conjunto { A D A − 1 , B D B − 1 , C D C − 1 , D D D − 1 , mi D mi − 1 , F D F − 1 } , es igual a { D , F } (comprobar mediante tediosos cálculos).
  3. La clase de conjugación de F también es igual a { D , F } (compruebe usando el teorema de que las clases de conjugación de cualquier grupo son una partición de ese grupo, y el hecho de que { D , F } es una clase de conjugación que ya ha verificado y que contiene F ).

Por lo tanto, el conjunto { mi , D , F } es una unión de dos clases enteras de conjugación, a saber

{ mi , D , F } = { mi } ∪ { D , F }
Fíjate, hay otra clase de conjugación completa que no está en esta unión. Entonces, decir que un subconjunto X del grupo es "una unión de clases de conjugación enteras" significa, más precisamente, "existe un subconjunto del conjunto de todas las clases de conjugación cuya unión es X ".

O, dicho de otro modo, " X es la unión de las clases de conjugación de los elementos de X ". Aviso: ningún elemento de la clase de conjugación { A , B , C } está contenido en el conjunto X = { mi , D , F } . Pero eso no contradice el significado de X siendo una unión de clases de conjugación enteras: X no es la unión de toda clase de conjugación, pero es una unión de algunas de las clases de conjugación.

¿Qué significa "contener clases completas de conjugación" (en inglés simple, por favor)?
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