¿Qué significa f=−∇uf=−∇u\textbf{f} = -\boldsymbol{\nabla} u en la práctica y cómo se calcula?

Question

¿Qué significa f=−∇uf=−∇u\textbf{f} = -\boldsymbol{\nabla} u en la práctica y cómo se calcula?

efectivo
Física
potencial
diferenciación
mecanica clasica

Andrés

En las simulaciones por computadora clásicas, como las simulaciones de dinámica molecular (MD), se integran las ecuaciones de movimiento de Newton para determinar las trayectorias de las partículas. Si pensamos en la Segunda Ley de Newton como simplemente

F_{i} = \frac{d {pag}_{i}}{d t}

$\textbf{f}_i = \frac{d \textbf{p}_i}{dt}$ dónde

f_{i}

$\textbf{f}_i$ es la fuerza neta que actúa sobre una partícula

i

$i$ y

p_{i}

$\textbf{p}_i$ es el momento de la partícula, entonces está claro que para integrarlo en última instancia y propagar la trayectoria, necesitaremos calcular la fuerza en cada partícula en el sistema.

Sin embargo, en la práctica, creo que la energía potencial $u$ , en lugar de la fuerza, se calcula inicialmente (un campo de fuerza especifica la forma de la energía potencial $V$ ). Ahora, sé que existe una relación entre la energía potencial $u$ y fuerza $f$ :

F = - \nabla tu

$\textbf{f} = -\boldsymbol{\nabla} u$

En otras palabras, la fuerza es el gradiente negativo de la energía potencial.

Estoy leyendo Comprensión de la simulación molecular de Frenkel y Smit (segunda edición) , y en la página 69 (Google Books tiene algunas páginas aquí ), veo este párrafo:

Supongamos que deseamos calcular el $x$ -componente de la fuerza:
$F_{X} (r) = - \frac{\partial tu (r)}{\partial X} = - (\frac{X}{r}) (\frac{\partial tu (r)}{\partial r})$ $f_x(r) = -\frac{\partial u(r)}{\partial x} = -\left(\frac{x}{r}\right)\left(\frac{\partial u(r)}{\partial r}\right)$

Me temo un poco que esta es una pregunta tonta, pero ¿cómo pasan los autores de $-\frac{\partial u(r)}{\partial x}$ a $-\left(\frac{x}{r}\right)\left(\frac{\partial u(r)}{\partial r}\right)$ ? ¿Es esta la regla de la cadena? ¿Podría ayudarme a ver el paso que están dando los autores?

Respuestas (2)

¿Qué significa f=−∇uf=−∇u\textbf{f} = -\boldsymbol{\nabla} u en la práctica y cómo se calcula?

Adán Zalcman · Answer 1

Tienes razón en que el resultado que ves se debe a la regla de la cadena . El autor usa coordenadas esféricas o cilíndricas , por lo que

r = \sqrt{X^{2} + y^{2} + z^{2}}

$\begin{equation} r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \end{equation}$

o

r = \sqrt{X^{2} + y^{2}}

$\begin{equation} r = \sqrt{x^2 + y^2} \end{equation}$

que puedes diferenciar para obtener

\frac{\partial r}{\partial X} = \frac{X}{r}

$\begin{equation} \frac{\partial{r}}{\partial{x}} = \frac{x}{r} \end{equation}$

Por eso

F_{X} (r) = - \frac{\partial tu (r)}{\partial X} = - \frac{\partial tu (r)}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial X} = - \frac{X}{r} \frac{\partial tu (r)}{\partial r}

$\begin{equation} f_x(r) = -\frac{\partial{u(r)}}{\partial{x}} = -\frac{\partial{u(r)}}{\partial{r}}\frac{\partial{r}}{\partial{x}} = -\frac{x}{r} \frac{\partial{u(r)}}{\partial{r}} \end{equation}$

Ron Maimón · Answer 2

La respuesta anterior está bien, pero no debes perder el tiempo haciendo la regla de la cadena. Proviene de una relación diferencial que se aprende una vez y se convierte para siempre en una segunda naturaleza:

r d r = X d X + y d y + z d z

$r dr = x dx + y dy + z dz$

Esta es la forma diferencial de la ley de Pitágoras:

r^{2} = X^{2} + y^{2} + z^{2}

$r^2 = x^2 + y^2 + z^2$

y te dice el tamaño del tamaño relativo de los incrementos x,y,z, cuando haces un incremento de r. El incremento x es ${x\over r} dr$ , por lo que el cambio en la función es

tu (X + d X, y, z) = tu (r + d r) = tu (r) + {tu}^{'} (r) d r = tu (r) + {tu}^{'} (r) \frac{X}{r} d X

$u(x + dx,y,z) = u(r+dr) = u(r) + u'(r) dr = u(r) + u'(r) {x\over r} dx$

es importante hacerlo así, para que entre en tu cabeza y se quede ahí.

¿Qué significa f=−∇uf=−∇u\textbf{f} = -\boldsymbol{\nabla} u en la práctica y cómo se calcula?

Andrés

Respuestas (2)

Adán Zalcman

Ron Maimón

¿Por qué no podemos atribuir un potencial (posiblemente dependiente de la velocidad) a una fuerza disipativa?

En f=−∇uf=−∇u\textbf{f} = -\boldsymbol{\nabla} u, ¿cuál es uuu?

¿Puede el potencial depender de la velocidad?

Equilibrio estable fuerza dada

Sistema no conservativo y potenciales dependientes de la velocidad

Acerca de la construcción de funciones de energía potencial

Fuerza como gradiente de energía potencial escalar

Función potencial para fuerzas internas conservativas

¿Por qué no se usa la regla del producto en la definición de trabajo mecánico?

La tercera ley de Newton para un bloque sobre una mesa [duplicado]