Equilibrio estable fuerza dada

Si una partícula se mueve bajo la influencia de una fuerza resistiva proporcional a la velocidad y un potencial tu ,

F ( X , X ˙ ) = − b X ˙ − ∂ tu ∂ X
Donde b>0 y tu ( X ) = ( X 2 − a 2 ) 2

Mis pensamientos eran hacer F = 0 , lo que daría como resultado:

X ˙ = 1 b ( 4 X 3 − 4 a 2 X )
¿Esto significa que los puntos de equilibrio son una función del tiempo?

EDITAR::

Así que configuré como se sugiere, usando F = metro X ¨ Llegar

0 = metro X ¨ + b X ˙ + 4 X ( X 2 − a 2 )
estoy tratando de resolver para X ( t ) . Sé cómo resolver la ecuación que tiene solo x, pero no sé cómo resolver el término x^3. Tengo curiosidad por saber cómo combinarlos para obtener x(t)

Pregunta relacionada o similar physics.stackexchange.com/q/77783/392
Tal vez usando transformadas de Laplace, pero ha pasado mucho tiempo desde que hice algo como esto.
@ ja72 pregunta diferente. Esto busca puntos de equilibrio cuando la fuerza tiene una dependencia de la velocidad. La otra publicación pide ecuaciones de movimiento dado un potencial
@yankeefan11: este problema tiene un truco simple para resolverlo en un solo paso sin manipular ecuaciones diferenciales. Lo agregué como respuesta, aunque a estas alturas probablemente ya lo sepas, ya que se preguntó hace varios meses.

Respuestas (2)

El punto estable de equilibrio está en X = 0 , X = ± a . Esto se vuelve obvio cuando te das cuenta de que para este tipo de problemas con fricción lineal, en realidad puedes ignorar el término de fricción al calcular el estado de equilibrio del sistema.

¿Por qué? Si el sistema está en equilibrio, entonces ambos están en reposo ( X ˙ = 0 ) y no tiene ninguna fuerza neta actuando sobre él ( F = 0 ). Combinando estas dos afirmaciones se obtiene

0 = F = − ∂ tu ∂ X = 4 X ( X 2 − a 2 )
lo que implica
X ∈ { − a , 0 , a } .

Puede determinar los puntos de equilibrio mediante uno de dos enfoques:

  1. Use la segunda ley de Newton, lo que significa reemplazar F por metro X ¨ . La ecuación se convierte en una EDO de segundo orden. resolverlo por X .

  2. Usando su formulación estableciendo F = 0 Obtuviste una ODE de 1er orden. resolverlo por X como función del tiempo. En el momento en que la velocidad se vuelve cero, la fuerza ya es cero y el gradiente de potencial también es cero. Entonces la partícula no experimenta ninguna fuerza y ​​tiene un impulso cero. El valor de X en ese momento es la posición de equilibrio.

esto se pone muy feo, ¿es posible hacerlo más fácil?
No puedo pensar en otra forma, puedes hacer la opción 2 yendo a wolframalpha.com, obtendrás una buena función x(t). Puede usar la opción "paso a paso" si creó una cuenta de prueba.
O vaya a la opción 1 y resuélvalo usando MATLAB o Mathematica. Si la ecuación no tiene una solución de forma cerrada, resuélvela numéricamente. Hay muchos comandos en MATLAB para hacerlo
wolframalpha.com/input/… Wolframalpha no me dará una solución
Equilibrio estable fuerza dada
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