Función potencial para fuerzas internas conservativas

En el libro Mecánica clásica de Goldstein, consideró un sistema de partículas y observó la fuerza interna conservativa entre la partícula i y partícula j que satisfacen la ley fuerte de acción y reacción.

Escribió la función potencial para esta fuerza interna como

V i j = V i j ( | r i → − r j → | ) .

Luego dijo que las fuerzas F → j i (fuerza que la partícula j ejerce sobre i) y F → i j (fuerza que la partícula i ejerce sobre j) son automáticamente iguales y opuestas:

F → j i = − ∇ i V i j ( | r i → − r j → | ) = + ∇ j V i j ( | r i → − r j → | ) = − F → i j .

Tengo algunos problemas para ver por qué.

− ∇ i V i j ( | r i → − r j → | ) = + ∇ j V i j ( | r i → − r j → | ) .
El operador gradiente actúa sobre diferentes índices, ¿por qué un cambio de signo los iguala?

Respuestas (1)

¿Matemáticamente es solo la regla de la cadena? Desde

∂ ∂ r → i V i j ( | r → i − r → j | ) = ∂ V i j ∂ ( r → i − r → j ) ∂ ( r → i − r → j ) ∂ r → i = ∂ V i j ∂ ( r → i − r → j ) ( 1 − d j i )

∂ ∂ r → j V i j ( | r → i − r → j | ) = ∂ V i j ∂ ( r → i − r → j ) ∂ ( r → i − r → j ) ∂ r → j = ∂ V i j ∂ ( r → i − r → j ) ( d i j − 1 ) = − ∂ ∂ r → i V i j ( | r → i − r → j | )

Hasta d i j = d j i .

¿Puedes explicar por qué reemplazaste ∇ i con ∂ ∂ r → i ? Mi entendimiento es que ∇ i = ∂ ∂ X i i → + ∂ ∂ y i j → + ∂ ∂ z i k →
Su comprensión es correcta. Es una notación equivalente, pero pensé que podría ayudar a ver la propiedad.
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