Fuerza como gradiente de energía potencial escalar

Su pregunta casi incluye el término de búsqueda correcto para una respuesta de Wikipedia, "Fuerzas conservadoras", que lo lleva a http://en.wikipedia.org/wiki/Conservative_Forces . Incluso está lo que pides, una prueba. También hay otro enlace a http://en.wikipedia.org/wiki/Conservative_vector_field , que brinda algunas visualizaciones bastante buenas que probablemente ayudarán. En términos generales, no debe haber vórtices en el campo de fuerza para que haya una energía potencial escalar que genere el campo de vector de fuerza como$\nabla\!\cdot\!\phi(x)$.

De hecho, el campo de fuerza debe ser conservativo, y este es el criterio de su capacidad para expresar la fuerza en términos de energía potencial. Para probar esto, permita que un campo de fuerza (en 2D para simplificar) esté dado por

En el caso de un campo gravitatorio newtoniano simple,

Integrando con respecto a$x$rendimientos$-GmM/(x^2+y^2)^{1/2}+C(y)$, dónde$C(y)$es la constante de integración. Derivando este resultado con respecto a y se obtiene$GmMy/(x^2+y^2)^{3/2}+dC(y)/dy$. Igualando esto a$g$calculemos$dC(y)/dy=0$y por lo tanto$C(y)=C$, dónde$C$es una constante independiente de$x$o$y$.

Por lo tanto, la energía potencial está dada por

El signo menos es simplemente el resultado de definiciones arbitrarias, la aceleración del vector de gravedad se define para apuntar hacia abajo (hacia el centro de masa de la tierra), la distancia positiva se define en la dirección hacia arriba (o aumentando alejándose del centro de masa de la tierra), definimos el trabajo realizado como un aumento en la energía potencial, el trabajo positivo realizado es fuerza por distancia; por lo tanto, la masa por una g negativa hacia abajo por una distancia positiva hacia arriba necesita un signo menos para aumentar la energía potencial.

Esa es la definición de una fuerza. En mi opinión, asumimos la Energía, el Espacio, el Momento y el Tiempo como fundamentales y construimos la teoría de la mecánica basada en estas cantidades.