¿Es correcta esta explicación de los subgrupos normales y los grupos de cocientes?

Sé que obtuviste una respuesta satisfactoria, pero déjame opinar un poco.

Primero mencionaré que lo que presenta es generalmente correcto y una forma válida de abordar esto. De hecho, la idea de "descomponer un grupo (finito) en partes más pequeñas" está detrás de la idea de clasificar grupos finitos simples (grupos que no se pueden descomponer), junto con la teoría de las extensiones de grupo (tratar de comprender qué es un grupo).$G$"es" si tienes un subgrupo normal$N\triangleleft G$, y entiendes ambos$N$y$G/N$).

Pero déjame ofrecerte una perspectiva diferente y una forma diferente de los teoremas de isomorfismo...

Después de aprender acerca de los grupos y subgrupos y el teorema de Lagrange, tal vez el teorema de Cauchy, llegamos a una encrucijada sobre cómo tratar de comprender mejor a un grupo determinado.

Una forma de tratar de aprender cosas sobre un grupo determinado.$G$es simplemente mirarlo hasta que note algunas cosas interesantes sobre$G$. Sin embargo, en términos generales, un enfoque mucho más fructífero en álgebra es adoptar un enfoque menos estático y considerar dos cosas: lo que el grupo$G$"puede hacer", y cómo interactúa con otros grupos.

Lo que un grupo "puede hacer" es, de hecho, históricamente cómo se entendieron originalmente los grupos. La noción original de un grupo era un "grupo de permutaciones": una colección de operaciones que actúan sobre un conjunto de maneras específicas. Incluso a principios del siglo XX, el libro de Burnside sobre grupos todavía define un grupo como una colección de "operadores" que actúan sobre "algunos objetos". Fue Cayley quien introdujo la definición abstracta de un grupo como un "conjunto con operaciones asociativas binarias que satisfacen ciertas condiciones", e inmediatamente pasó a demostrar que esto no cambiaba los objetos de estudio, ya que cualquier "grupo de permutaciones" era un grupo bajo su nueva definición propuesta, y cualquier objeto que satisfaga esta nueva definición propuesta podría entenderse como un "grupo de permutaciones".más importante históricamente que prácticamente hoy . Pero esto ya introduce la noción de funciones: ¿qué significa "puede entenderse como un grupo de permutaciones"? Significa que puede biyectarlo con dicho grupo de una manera que respete la operación.

Esto también nos lleva a las funciones. Para justificar por qué queremos pensar en funciones, consideremos dos áreas donde las funciones juegan un papel importante: los números reales/cálculo y el álgebra lineal.

La propiedad clave de los números reales era que eran "continuos": no tenían "agujeros". En lugar de simplemente mirar los números reales y ver si podemos decir cosas interesantes sobre ellos, resulta mucho más fructífero e interesante considerar funciones de$\mathbb{R}$a sí mismo que respeta esta "continuidad". Y así obtenemos la noción de funciones continuas, y el estudio de funciones continuas, como una forma de arrojar luz sobre la naturaleza de los números reales mismos.

De manera similar, con el álgebra lineal, mirar los espacios vectoriales solo te lleva hasta cierto punto; el poder real de los espacios vectoriales solo emerge cuando comienzas a considerar las transformaciones lineales.

En ambos casos, no solo desea cualquier función antigua; desea funciones que "conserven" lo que sea que haga que sus objetos sean interesantes. Para números reales, continuidad; para espacios vectoriales, la suma y el producto escalar.

Así con los grupos. Un grupo se caracteriza por tres cosas (tenga paciencia conmigo): una operación binaria$G\times G\to G$, que asigna a cualquier par de elementos$g_1,g_2\in G$su "producto"$g_1g_2$. Un elemento distinguido$e_G\in G$con la propiedad que$ge_G=e_Gg=g$para todos$g\in G$. y una funcion$G\to G$que asigna a cada elemento$g\in G$su "inverso",$g^{-1}$, que tiene la propiedad de que$gg^{-1}=g^{-1}g=e_G$.

Así que si tenemos dos grupos$G$y$H$, entonces una "función que conserva esta estructura" sería una función$f\colon G\to H$, tal que

1. Respeta los productos: si$g_1,g_2\in G$, entonces$f(g_1g_2) = f(g_1)f(g_2)$.
2. Respeta la identidad:$f(e_G) = e_H$.
3. Respeta los inversos: si$g\in G$, entonces$f(g^{-1}) = (f(g))^{-1}$.

Resulta que dos de estas condiciones son superfluas, pero así es como queremos empezar. Como sabe, si 1 es válido para una función entre grupos, entonces 2 y 3 también serán válidos automáticamente. Entonces se puede definir un homomorfismo de grupo simplemente como una función que satisface 1 y prueba 2 y 3; Prefiero definirlo como una función que satisface 1, 2 y 3, y luego probar que si satisface 1, entonces debe satisfacer 2 y 3. La razón por la que lo prefiero es porque creo que hace que la definición sea más natural.

Bien, estas son las funciones que desempeñarán el papel de "transformaciones lineales" y "funciones continuas". Los llamamos, como mencioné anteriormente, "homomorfismos de grupo". También son el tipo de funciones necesarias en el argumento de Cayley de que cualquier grupo "puede verse" como un grupo de permutaciones, porque eso corresponde a una función uno a uno.$f\colon G\to S_X$(para algunos conjuntos$X$), que satisface 1, 2 y 3. De modo que$f(G)$es "esencialmente el mismo" (en lo que se refiere a la estructura del grupo) como$G$, pero ahora consiste en permutaciones en un conjunto$X$.

Ahora, dada una función$f\colon G\to H$(de hecho, cualquier función entre dos conjuntos$X$y$Y$), existe una relación de equivalencia natural que podemos definir sobre$G$. Digamos que dos elementos$x,y\in G$son "$f$-equivalente",$x\sim_f y$, si y solo si$f(x)=f(y)$. Esto se verifica fácilmente como una relación de equivalencia, por lo que se divide$G$en clases de equivalencia.

Pero porque$f$es un homomorfismo de grupos, tenemos las siguientes consecuencias: si$x\sim_f y$y$z\sim_f w$, entonces$xz\sim_f yw$, y$x^{-1}\sim_f y^{-1}$. Entonces podemos hacer el conjunto de clases de equivalencia,$G/\sim_f$en un grupo! Dejar$[x]_f$ser la clase de equivalencia de$x$. Entonces podemos definir$[x]_f*[y]_f = [xy]_f$,$e_{G/\sim_f} = [e_G]_f$, y$([x]_f)^{-1} = [x^{-1}]_f$. Entonces es un ejercicio fácil mostrar que esto es realmente un grupo.

¿Qué relación tiene este grupo con$G$y con$f$? Bueno, ese es el primer teorema del isomorfismo: hay un homomorfismo de grupo biyectivo entre el grupo$G/\sim_f$y el grupo de imagen$f(G)$, dado por el envío$[x]_f$a$f(x)$.

¿Cómo se relaciona esto con los subgrupos normales? Ah, bueno, estas clases de equivalencia tienen una propiedad interesante: por la propiedad de que$x\sim_f y$implica$x^{-1}\sim_f y^{-1}$, y si$x\sim_f y$y$z\sim_f w$entonces$xz\sim_f yw$, tenemos

¿Funcionará algún subgrupo? No, resulta que no. Si$N$es un subgrupo y tratamos de definir una relación de equivalencia$x\sim y$si y solo si$xy^{-1}\in N$, obtenemos una relación de equivalencia, pero no obtenemos una relación de equivalencia que le permita definir una estructura de grupo en$G/\sim$. La condición que te permite hacer eso es precisamente que$N$debe ser un subgrupo normal. Entro en mucho más detalle sobre esto en esta respuesta .

Así, las relaciones de equivalencia "buenas", las que provienen de funciones (se llaman "congruencias"), corresponden a subgrupos normales. De hecho, al igual que con el Teorema de Cayley anterior (que dio una definición separada de "grupo" y luego mostró que era realmente el mismo que el anterior), lo mismo ocurre con las relaciones de equivalencia "buenas":

Teorema. un subgrupo$N$de un grupo$G$es normal en$G$si y solo si existe un grupo$H$y un homomorfismo$f\colon G\to H$tal que$N=[e_G]_f$.

Esto lleva entonces al primer teorema de isomorfismo habitual, que dice: esta construcción de tomar cocientes de un grupo es "esencialmente lo mismo" que mirar la imagen de$G$bajo un homomorfismo de grupo, en el que dado cualquier homomorfismo$f\colon G\to H$, si$N=[e_G]_f$, entonces$G/N = G/\sim_f$es "esencialmente lo mismo" que$f(G)$: hay un homomorfismo de grupo biyectivo entre ellos.

El Tercer Teorema del Isomorfismo corresponde a composiciones de morfismos: si$f\colon G\to H$y$g\colon H\to K$, entonces$f(G)/\sim_g$es esencialmente lo mismo que$g\circ f(G)/\sim_{g\circ f}$. es decir, si$N\triangleleft G$,$K\triangleleft G$,$N\subseteq G$, entonces$K/N \triangleleft G/N$y$(G/N)/(K/N)\cong G/K$.

El Cuarto Teorema del Isomorfismo, o de la red, establece una correspondencia entre los subgrupos de$f(G)$y los subgrupos de$G$que contienen$[e]_f$. Entonces uno pregunta... está bien, ¿y qué pasa con otros subgrupos de$G$? Eso es lo que te da el segundo teorema del isomorfismo: si$f\colon G\to H$es un homomorfismo y$K$es un subgrupo arbitrario de$G$, entonces$f(K)$corresponde a$K/(K\cap N)$(dónde$N=[e]_f$). Y esta imagen es "la misma" que la imagen de$KN$. Eso es,

Así que en resumen:

1. El primer teorema del isomorfismo te dice que las imágenes de los grupos corresponden a los cocientes y viceversa.

2. El tercer teorema del isomorfismo te dice que esta correspondencia funciona bien con la composición.

3. El cuarto teorema del isomorfismo te dice que hay una muy buena correspondencia entre los subgrupos de$f(G)$y el subgrupo de$G$que contienen$[e]_f$.

4. Y el segundo teorema del isomorfismo te dice cómo el resto de los subgrupos de$G$comportarse bajo el homomorfismo$f$.

Así, la importancia de los subgrupos normales corresponde simplemente a la importancia de los homomorfismos. Las imágenes de un grupo son como "sombras" del grupo y, con suerte, a veces serán más fáciles de entender. Los grupos simples son los que no podemos simplificar de esta manera: solo tendremos que mirarlos fijamente hasta que los entendamos. Y si podemos entender los grupos simples, y podemos entender cómo juntar grupos (extensiones de grupo) desde$N$y$G/N$, entonces tal vez podamos aprovechar nuestra comprensión (hipotética) de grupos simples en una comprensión (aún más hipotética) de todos los grupos. Resulta que esto es una esperanza demasiado ingenua, desafortunadamente, pero tal vez pueda ayudar a justificar por qué nos preocupamos por los morfismos, los subgrupos normales, los cocientes, etc.

Parece que has entendido bastante bien la historia.

Para abordar sus preguntas específicas:

1. Sí, parece bueno. Estoy de acuerdo en que podría trabajar un poco para pulir esto para que todo sea completamente riguroso, incluida la toma de algunas decisiones sobre lo que quiere que sea una definición y lo que quiere que sea un teorema.
2. Creo que esto es bastante parecido a cómo la mayoría de los libros de texto presentan los grupos de cocientes y el primer teorema de isomorfismo.
3. Los homomorfismos no sobreyectivos son sobreyectivos sobre su imagen. El primer teorema del isomorfismo dice que si$\phi: A \to B$es un homomorfismo de grupo, entonces$\textrm{Im}(\phi) \cong A/\ker(\phi)$. Entonces$\phi$está eligiendo un subgrupo de$B$que es isomorfo al grupo cociente$A/\ker(\phi)$.