Condiciones de prueba para subgrupos normales

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Condiciones de prueba para subgrupos normales

Matemáticas
teoría de grupos
álgebra abstracta
subgrupos normales

Anónimo

Estaba viendo la siguiente conferencia en línea sobre subgrupos normales y me encontré con la siguiente prueba: Grupos normales y cocientes

Si tenemos algún grupo, G, y algún subgrupo de G, digamos N, podemos construir clases laterales izquierdas así:

Cada clase lateral izquierda: $gN$ para algunos $g \in G$ .

Ahora elegimos dos clases laterales: $xN, yN$ . ahora desde $e \in N$ ,

$x.e = x \in xN$ y $y.e = y \in yN$ .

Ahora aquí está la parte que no entiendo:

Para que las clases laterales actúen como un grupo:

$x.y \in (xN)(yN)$

¿Por qué debe ser esto cierto? Y lo que es $(xN)(yN)$ .¿Es la operación de grupo por elementos de cada elemento en $xN$ y $yN$ ?

Entonces la prueba dijo: $i.e. (xN)(yN) = xyN$ .

Esto no tiene sentido para mí, ¿qué es tan obvio acerca de esta declaración?

Arturo Magidín

Si desea poder multiplicar las clases laterales como si fueran un grupo, necesita (i) que el producto de dos clases laterales sea una clase lateral; y (ii) desde

x y

$xy$ radica en el producto elemental de

x N

$xN$ y

y N

$yN$ , necesita la clase lateral que resulta de hacer

(x N) (y N)

$(xN)(yN)$ ser el coset

x y N

$xyN$ . Esto es válido para los subgrupos normales y solo para los subgrupos normales . Por cierto: es imposible ayudarlo a comprender su justificación a menos que sepamos de qué conferencia está hablando. Hay múltiples formas de establecer estas cosas. Al no decir, impides la ayuda.

usuario856333

@ArturoMagidin Agregué la conferencia, perdón por la confusión.

usuario856333

@ArturoMagidin ¿Podría explicar también por qué?

(x N) (y N) \in x y N

$(xN)(yN) \in xyN$ ?

Arturo Magidín

no es cierto que

(x N) (y N) \in x y N

$(xN)(yN)\in xyN$ ; el lado izquierdo es un conjunto, no un elemento. Para subgrupos normales,

g N = N g

$gN=Ng$ para todos

g \in G

$g\in G$ . Entonces

(x N) (y N) = x (N y) N = x (y N) N = x y N N = x y N

$(xN)(yN) = x(Ny)N = x(yN)N = xyNN = xyN$ , porque para cualquier subgrupo

H

$H$ ,

H H = H

$HH=H$ . Todo esto está hecho en la publicación a la que me vinculé.

Respuestas (1)

Condiciones de prueba para subgrupos normales

Si desea poder multiplicar las clases laterales como si fueran un grupo, necesita (i) que el producto de dos clases laterales sea una clase lateral; y (ii) desde $xy$ radica en el producto elemental de $xN$ y $yN$ , necesita la clase lateral que resulta de hacer $(xN)(yN)$ ser el coset $xyN$ . Esto es válido para los subgrupos normales y solo para los subgrupos normales . Por cierto: es imposible ayudarlo a comprender su justificación a menos que sepamos de qué conferencia está hablando. Hay múltiples formas de establecer estas cosas. Al no decir, impides la ayuda.
@ArturoMagidin Agregué la conferencia, perdón por la confusión.
@ArturoMagidin ¿Podría explicar también por qué? $(xN)(yN) \in xyN$ ?
no es cierto que $(xN)(yN)\in xyN$ ; el lado izquierdo es un conjunto, no un elemento. Para subgrupos normales, $gN=Ng$ para todos $g\in G$ . Entonces $(xN)(yN) = x(Ny)N = x(yN)N = xyNN = xyN$ , porque para cualquier subgrupo $H$ , $HH=H$ . Todo esto está hecho en la publicación a la que me vinculé.

Gerente de Jacob · Answer 1

La condición

\begin{matrix} (1) & X y \in (X norte) (y norte) \end{matrix}

$xy\in(xN)(yN)\tag{1}$ no es necesario que el conjunto de clases laterales sea un grupo. En cambio, (1) es la condición para que la multiplicación en clases laterales sea deducible de la multiplicación en su grupo original.

(De hecho, si hay $n$ clases laterales, siempre podemos convertirlas en un grupo eligiendo una biyección arbitraria al grupo cíclico en $n$ elementos. Pero por lo general, esta no es una estructura de grupo muy interesante, porque no tiene ninguna relación con la original. $G$ empezamos con.)

Recuerde que cada clase lateral es la clase de equivalencia de elementos de $g$ que se diferencian por un elemento de $N$ ; eso es,

X norte = {norte X : norte \in norte}

$xN=\{nx:n\in N\}$ Este conjunto tiene una representación como

x N

$xN$ , pero esta representación no es única: si

n \in N

$n\in N$ , entonces

(x n) N = x N

$(xn)N=xN$ . (Por ejemplo, considere

D_{3} / C_{2}

$D_3/C_2$ . Esto significa: tomar el grupo de simetrías de un triángulo; cualquier reflejo

r

$r$ genera un subgrupo (no normal). Ese subgrupo tiene tres clases laterales, que llamaré

C_{2}

$C_2$ ,

ρ C_{2}

$\rho C_2$ , y

ρ^{2} C_{2}

$\rho^2C_2$ . Puedes verificar que

r C_{2} = C_{2}

$rC_2=C_2$ ,

ρ r C_{2} = ρ C_{2}

$\rho rC_2=\rho C_2$ , etc.)

Queremos una multiplicación en clases laterales que surge de la multiplicación en $G$ , por lo que podemos deducir $(xN)(yN)$ simplemente computando $(xy)N$ . Pero no tenemos ninguna garantía de que el coset $(xy)N$ no depende de cual $x$ y $y$ elegimos representar $xN$ y $yN$ .

Una forma de arreglar esto es decir: dadas dos clases laterales $K_1$ y $K_2$ , la multiplicación natural es

k_{1} k_{2} = {k_{1} k_{2} : k_{1} \in k_{1}, k_{2} \in k_{2}}

$K_1K_2=\{k_1k_2:k_1\in K_1, k_2\in K_2\}$ Esto nos permite definir

(x N) (y N)

$(xN)(yN)$ , y se puede comprobar que el resultado es una clase lateral precisamente cuando

N

$N$ es normal. Queremos que esta multiplicación se alinee con la multiplicación en

G

$G$ :

(X norte) (y norte) = X y norte

$(xN)(yN)=xyN$ Para asegurar esto, seguimos el comentario de Arturo Magidin: si

x y \in (x N) (y N)

$xy\in(xN)(yN)$ , entonces

X y norte \subseteq (X norte) (y norte) norte = (X norte) (y norte)

$xyN\subseteq(xN)(yN)N=(xN)(yN)$ Dado que ambos lados son clases laterales, no pueden contenerse estrictamente. De este modo

x y N = (x N) (y N)

$xyN=(xN)(yN)$ , como se desee.

Condiciones de prueba para subgrupos normales

Anónimo

Arturo Magidín

usuario856333

usuario856333

Arturo Magidín

Respuestas (1)

Gerente de Jacob

Pregunta más profunda sobre el teorema de Cayley

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