En muchos casos, el teorema fundamental del homomorfismo y el primer teorema del isomorfismo se consideran iguales. En un libro me encontré con las siguientes declaraciones diferentes.
Teorema fundamental del homomorfismo. Dejar ser un grupo Si es un subgrupo normal , entonces es una imagen homomórfica de . Por el contrario, si algún grupo es una imagen homomórfica de entonces es isomorfo a algún grupo cociente de . Si es un hecho, si es un homomorfismo de sobre , entonces es isomorfo a .
Primer Teorema del Isomorfismo. Dejar ser un homomorfismo de un grupo sobre y , cualquier subgrupo normal de y Entonces es un subgrupo normal de que contiene y es isomorfo a .
En mi opinión, las dos declaraciones son diferentes. Por favor, ilumíname si
¿El teorema fundamental del homomorfismo y el primer teorema del isomorfismo son iguales o diferentes?
Comentario reescrito como una respuesta en respuesta al comentario sobre la pregunta.
Creo que hacer la simple pregunta de sí/no sobre si estas dos declaraciones sobre grupos son "el mismo teorema" o "teoremas diferentes" no es útil.
Formalmente, dos teoremas son "lo mismo" sólo cuando tienen las mismas hipótesis y las mismas conclusiones. Pero eso puede ser sutil. Si tiene dos teoremas sobre grupos, pero cada uno parte de una definición diferente (pero lógicamente equivalente) de un grupo, ¿son iguales?
Creo que es mejor decirles a sus alumnos que los nombres que se les dan a los teoremas matemáticos pueden variar. A veces un teorema tendrá varios nombres. A veces diferentes teoremas tendrán el mismo nombre. A menudo, en esos casos, cada uno puede derivarse con relativa facilidad del otro, pero los argumentos, aunque fáciles en ambas direcciones, pueden ser algo más difíciles en una de ellas. En este caso el segundo teorema implica fácilmente el primero. Lo primero implica lo segundo con un poco de trabajo.
En cualquier contexto particular (un artículo en la literatura, un libro de texto, un curso) el teorema particular denominado "El teorema fundamental de los isomorfismos" o "El teorema fundamental del cálculo" debe especificarse con precisión.
Ethan Bolker
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