¿Qué resultados geométricos se probaron primero al suponer que todos los números reales son racionales?

Pitágoras y sus seguidores creían que todas las magnitudes son conmensurables; es decir, la razón de dos magnitudes de la misma especie, como dos longitudes o dos áreas, es igual a la razón de los números naturales. En lenguaje moderno, esto significa que todos los números reales son números racionales. Esto les permitió averiguar si dos proporciones de magnitud son iguales: simplemente averigüe a qué proporción de números naturales es igual cada uno y luego compare esas proporciones entre sí.

Pero Hippassus de Metapontum descubrió que la razón de una diagonal de un cuadrado a su lado no es igual a la razón de los números naturales. Entonces se necesitaba una nueva definición para cuando dos razones de magnitudes son iguales. Esto lo hizo Eudoxo de Cnido. En lenguaje moderno, su definición dice que dos números reales son iguales si los mismos números racionales son menores, iguales y mayores que ellos (básicamente la idea detrás de los cortes de Dedekind).

Mi pregunta es, ¿qué resultados de la geometría probaron los pitagóricos usando la suposición incorrecta de que todos los números reales eran racionales? Hace mucho tiempo, leí un libro, cuyo nombre no recuerdo, que enumeraba algunos resultados y describía cómo tenían que ser reprobados con la nueva definición de Eudoxo.