¿Cómo influyó Aristóteles en Euclides?

Tienes razón: Euclides no usa silogismos. De manera más general: "Aunque Aristóteles enfatizó el uso de silogismos como los componentes básicos de los argumentos lógicos, los matemáticos griegos aparentemente nunca los usaron". (Cito de A History of Mathematics , de Victor J. Katz (3ª ^edición )).

La influencia de Aristóteles sobre Euclides está en otra parte. Citando de la misma fuente: “Si uno acepta las premisas de un silogismo como verdaderas, entonces también debe aceptar la conclusión. Sin embargo, uno no puede obtener cada pieza de conocimiento como la conclusión de un silogismo. Uno tiene que empezar en alguna parte con verdades que se aceptan sin discusión. Aristóteles distingue entre las verdades básicas que son propias de cada ciencia particular y las que son comunes a todas. Los primeros a menudo se llaman postulados , y los segundos se conocen como axiomas ”. Supongo que reconoces en esta descripción la forma en que están escritos los Elementos de Euclides .

Como Simpson establece claramente en la sección "Lógica aristotélica" de su artículo, el principio 3 es la ley del tercero excluido:$P \vee \neg P$es verdad. De hecho, los Elementos de Euclides se basan en la lógica clásica en lugar de la lógica intuicionista. Recientemente ha habido intentos de reescribir a Euclides en un marco intuicionista; véase, por ejemplo, el trabajo de Michael J. Beeson.

Heath, el famoso traductor de los Elementos , concluye en su introducción al vol. 1 de su traducción de los Elementos , § "3. Primeros principios: definiciones, postulados y axiomas", que el uso de Euclides de estos términos se alinea más estrechamente con el de Aristóteles. Heath comienza ese § citando in extenso de los Analíticos posteriores 1.10 (76 ^a 5) de Aristóteles ("Diferencia entre principios y no principios, principios comunes y propios") y comentándolo. Aquí está la traducción de Heath con sus útiles comentarios entre paréntesis que relacionan lo que Aristóteles dice con la geometría:

“Por primeros principios en cada género entiendo aquellos cuya verdad no es posible probar. Se supone lo que se denota por los primeros (términos) y los que de ellos se derivan; pero, en cuanto a su existencia, esto debe suponerse para los principios pero probarse para el resto. Así, qué es una unidad, qué es la (línea) recta, o qué es un triángulo (debe suponerse); y también se debe suponer la existencia de la unidad y de la magnitud, pero probar lo demás. Ahora bien, de las premisas usadas en las ciencias demostrativas, algunas son peculiares de cada ciencia y otras comunes (a todas), siendo estas últimas comunes por analogía, pues, por supuesto, son realmente útiles en la medida en que se aplican a la materia incluida bajo la ciencia concreta. Ejemplos de primeros principios peculiares a una ciencia son las suposiciones de que una línea es de tal o cual carácter, y de manera similar para la recta (línea); mientras que es un principio común, por ejemplo, que, si se restan iguales de iguales, los restos son iguales. Pero basta que cada uno de los principios comunes sea verdadero en cuanto al género particular (materia); porque (en geometría) el efecto será el mismo incluso si se supone que el principio común es verdadero, no para todo, sino sólo para las magnitudes y, en aritmética, para los números.

Ahora bien, lo que es per senecesariamente verdadera, y necesariamente debe pensarse así, no es una hipótesis ni tampoco un postulado. Pues la demostración no tiene que ver con el razonamiento de afuera, sino con la razón que habita en el alma, lo mismo que ocurre con el silogismo. Siempre es posible objetar el razonamiento desde afuera, pero contradecir la razón dentro de nosotros no siempre es posible. Ahora bien, cualquier cosa que el maestro suponga, aunque sea cuestión de prueba, sin probarlo él mismo, es una hipótesis si el alumno cree en la cosa supuesta, y además es una hipótesis, no absolutamente, sino relativa al alumno en particular; pero, si se supone lo mismo cuando el aprendiz no tiene opinión sobre el tema o tiene una opinión contraria, es un postulado. Esta es la diferencia entre una hipótesis y un postulado; porque un postulado es lo que es más bien contrario a la opinión del que aprende, o lo que se supone y usa sin ser probado, aunque sea materia de demostración. Ahora bien, las definiciones no son hipótesis, porque no afirman la existencia o inexistencia de nada, mientras que las hipótesis están entre las proposiciones. Las definiciones sólo requieren ser entendidas: una definición no es, por lo tanto, una hipótesis, a menos que se afirme que cualquier discurso audible es una hipótesis. Una hipótesis es aquello a partir de cuya verdad, si se asume, se puede establecer una conclusión. Tampoco son falsas las hipótesis del geómetra, como han dicho algunos: me refiero a los que dicen que 'no se debe hacer uso de lo que es falso, y sin embargo el geómetra llama falsamente a la línea que ha trazado un pie de largo cuando no lo es, o recto cuando no lo es.ilustrado por las figuras. Además, el postulado y toda hipótesis son enunciados universales o particulares; las definiciones no son ninguna” (porque el sujeto tiene la misma extensión que lo que se predica de él).