¿Los círculos R,G,BR,G,BR,G,B que se intersecan por pares tienen cuerdas comunes concurrentes?

Las ecuaciones de los tres círculos son

$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2 \hspace{30pt}(1)$

$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2 \hspace{30pt}(2)$

$(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2 = r_3^2 \hspace{30pt}(3)$

Intersección$(1)$con$(2)$, los puntos de intersección se encuentran en la línea

$- 2 x (x_1 - x_2) - 2 y (y_1 - y_2) = r_1 ^2 - r_2 ^ 2 \hspace{30pt}(4)$

Intersección$(1)$con$(3)$, los puntos de intersección se encuentran en la línea

$- 2 x (x_1 - x_3) - 2 y( y_1 - y_3) = r_1^2 - r_3^2 \hspace{30pt} (5)$

Y finalmente interactuando$(2)$con$(3)$, los puntos de intersección se encuentran en la línea

$- 2 x (x_2 - x_3) - 2 y (y_2 - y_3) = r_2 ^ 2 - r_3 ^ 2 \hspace{30pt}(6)$

Si$(x, y)$satisface$(4)$y$(5)$debe satisfacer$(6)$. Esto se puede ver restando la ecuación$(4)$de$(5)$.

Por lo tanto, sí, los tres segmentos de recta siempre se encuentran en un solo punto.

Llamar$p$la intersección de$uw$y$xy$. La línea$zp$se cruza$G$en$s_1$y$B$en$s_2$.

Usando el teorema de las cuerdas que se cortan tenemos

$$\begin{align} pz\cdot ps_1 & = px\cdot py &\text {(power of $p$ in $G$)} \\ & = pu\cdot pw &\text {(power of $p$ in $R$)} \\ & = pz\cdot ps_2 &\text {(power of $p$ in $B$)} \\ \end{align}$$

Entonces$ps_1=ps_2$y por lo tanto$s_1=s_2=s$