¿Las tangentes de dos circunferencias definen circunferencias concéntricas?

Dados dos círculos que no se superponen, R 1 y R 2 . los radios de R 1 y R 2 Puede ser diferente. La distancia entre los centros de R 1 y R 2 Se define como X .

Dibuja las cuatro tangentes entre R 1 y R 2 . Habrá dos tangentes que se cruzan entre R 1 y R 2 y dos tangentes que no se cruzan R 1 y R 2 . Llame a las dos tangentes que se cruzan con tangentes internas y a las dos tangentes que no se cruzan con tangentes externas.

Afirmo que hay dos círculos concéntricos que se pueden dibujar, C 1 y C 2 . C 1 tendrá los cuatro puntos tangentes de las tangentes interiores en su circunferencia y C 2 tendrá los cuatro puntos tangentes de las tangentes exteriores en su circunferencia.

Recuerdo haber resuelto este problema usando geometría de secundaria, álgebra básica y algo de trigonometría, pero eso se acabó. 20 hace años que.

¿Es correcta mi afirmación? Si es así, ¿cuál es la solución?

Recuerdo vagamente que un punto clave fue notar que los radios que se cruzan en los puntos tangentes son perpendiculares a la línea tangente.

Respuestas (1)

Para radios desiguales es equivalente a las mediatrices de todos los segmentos tangentes interior y exterior que se cortan en un punto. Por simetría, este punto estaría en la línea de centros y uno solo necesita verificar si hay un segmento interno y otro externo. De hecho, parece que el punto debería ser el punto medio del segmento de línea que une los centros, y una vez que hayas observado que es fácil de probar, porque la bisectriz perpendicular es paralela a los radios que conectan los centros con los puntos tangentes, y a medio camino entre las dos líneas que extienden esos radios. Este argumento es válido también en el caso de radios iguales.

Entiendo cómo las mediatrices de las tangentes forman círculos. Lo que parece que no puedo probar es cómo los dos círculos son cocéntricos. Veo que las cuerdas entre puntos tangentes comparten la misma bisectriz perpendicular y una bisectriz perpendicular pasa por el centro de un círculo, pero parece que no puedo mostrar cómo ambos centros son el mismo punto.
Me lo imaginé. Mi solución es construir un trapezoide con una tangente exterior, un radio de cada círculo y el segmento de línea que conecta los centros. La bisectriz perpendicular de la tangente también divide el segmento de línea que conecta los centros por la mitad. Tome una tangente interna, un radio de cada círculo y el segmento de línea que conecta los centros. Extienda uno de los radios en dirección colineal en el lado opuesto de la línea central. Se forma un nuevo trapezoide con una tangente opuesta a la línea central. La bisectriz perpendicular divide la línea central. Ambos círculos tienen el mismo centro.
Para cualquiera de los segmentos tangentes, los radios (los segmentos que unen el centro con los puntos de tangencia) y la mediatriz del segmento tangente son todos perpendiculares a la recta tangente, por lo que la mediatriz es paralela a los radios. En la familia de todas las líneas paralelas a los radios, la distancia a lo largo de cualquier línea transversal a la familia sirve como coordenada. En cualquiera de estas coordenadas (aquí usamos la de la línea de centros) la línea bisectriz perpendicular está a medio camino entre las líneas radiales y, por lo tanto, pasa por el punto medio de la línea de centros.
¿Las tangentes de dos circunferencias definen circunferencias concéntricas?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v