Una pregunta sobre un triángulo rectángulo contenido en un triángulo equilátero

Question

Una pregunta sobre un triángulo rectángulo contenido en un triángulo equilátero

geometría
triangulos
Matemáticas
Geometría euclidiana

Anónimo

En esta imagen,

$ABC$ es un triángulo equilátero, mientras que $ABP$ es un triángulo rectángulo. Dejar $P$ estar dentro del triángulo equilátero, y $\alpha,\beta,\gamma$ tres segmentos tales que se suman al lado de $ABC$ (y también a la hipotenusa de $ABP$ , por construcción).

¿Es cierto que $P$ pertenece al círculo rojo si y sólo $\gamma^2=2\alpha\beta$ ?

tonychow0929

Considere ABP y aplique el Teorema de Pitágoras (y su recíproco). ¿Qué puedes conseguir?

usuario559615

Hmmm, gracias Tony, pero no lo entiendo :(

usuario559615

Te refieres a

(α + γ)^{2} + (β + γ)^{2} = (α + β + γ)^{2}

$(\alpha+\gamma)^2+(\beta+\gamma)^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2$ ...

Animal Nominal

Utilice "triángulo rectángulo" , "triángulo rectángulo" o "triángulo rectángulo" (consulte, por ejemplo, este artículo de Wikipedia ). "triángulo rectángulo" es bastante confuso.

usuario559615

Lo siento, lo corrijo.

Narasimham

Usa el thm de Pitágoras.

(α + γ)^{2} + (β + γ)^{2} = (α + β + γ)^{2}

$(\alpha+\gamma)^2+(\beta+\gamma)^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2$ Expándalo. Cancela los términos iguales en cada lado de la ecuación y... si eso coincide, entonces

P

$P$ se encuentra en el semicírculo.

Respuestas (1)

Una pregunta sobre un triángulo rectángulo contenido en un triángulo equilátero

Considere ABP y aplique el Teorema de Pitágoras (y su recíproco). ¿Qué puedes conseguir?
Te refieres a $(\alpha+\gamma)^2+(\beta+\gamma)^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2$ ...
Utilice "triángulo rectángulo" , "triángulo rectángulo" o "triángulo rectángulo" (consulte, por ejemplo, este artículo de Wikipedia ). "triángulo rectángulo" es bastante confuso.
Usa el thm de Pitágoras. $(\alpha+\gamma)^2+(\beta+\gamma)^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2$ Expándalo. Cancela los términos iguales en cada lado de la ecuación y... si eso coincide, entonces $P$ se encuentra en el semicírculo.

poyea · Answer 1

$AB$ es el diámetro del círculo rojo. Si $P$ pertenece al círculo rojo, $\angle APB=90^\circ$ (semicírculo). Entonces, por el teorema de Pitágoras, $AB^2=AP^2+PB^2\implies (\alpha+\gamma+\beta)^2=(\alpha+\gamma)^2+(\beta+\gamma)^2\implies\gamma^2=2\alpha\beta.$

El recíproco del teorema de Pitágoras se ocupa de la " $\Leftarrow$ " dirección.

¡Si lo veo! Muchas gracias, Poyea (y también gracias a Tony, obtuve la misma solución gracias a su sugerencia).

Una pregunta sobre un triángulo rectángulo contenido en un triángulo equilátero

Anónimo

tonychow0929

usuario559615

usuario559615

Animal Nominal

usuario559615

Narasimham

Respuestas (1)

poyea

usuario559615

¿Cuál es el área del semicírculo verde?

Si p,q,rp,q,rp,q,r son las longitudes de las perpendiculares desde los vértices del triángulo ABCABCABC en cualquier recta, probar a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p )+c2(r−p)(r−q)=4Δ2a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p)+c2(r−p)(r−q)= 4Δ2a^2(pq)(pr)+b^2(qr)(qp)+c^2(rp)(rq)=4\Delta^2

¿Hay alguna figura trilateral en geometría euclidiana que no sea un triángulo?

Encuentre ∠CAD∠CAD\angle CAD en la siguiente figura.

Usando Menelao para mostrar: Las bisectrices perpendiculares de las bisectrices de los ángulos de un triángulo se encuentran con los lados opuestos en puntos colineales

Línea a través del punto medio del vértice-centroide del triángulo

Área de un triángulo equilátero con los radios de la circunferencia inscrita

Propiedad de una cometa inscrita en un cuadrado

Puntos en la hipotenusa de un triángulo rectángulo

Teorema de pitágoras