Definición de estado de un sistema cuántico

En QM, resolvemos los kets propios del operador hamiltoniano H ^ y decir que el estado de mi sistema se encuentra en una superposición lineal de estos estados propios { | norte ⟩ } como implica la relación | ψ ⟩ = ∑ norte = 0 ∞ | norte ⟩ ⟨ norte | ψ ⟩ y luego todo sobre el sistema, su momento, posición, etc. puede inferirse por la acción de los operadores correspondientes en | ψ ⟩ . Se hace lo mismo para el caso de un oscilador armónico simple.

  1. Pero, ¿cuál es entonces el significado de estados coherentes en este contexto y qué relación tienen los estados coherentes con el estado del sistema? | ψ ⟩ ? ¿Los estados coherentes simplemente nos brindan una base para expresar nuestro estado?

  2. ¿Por qué el operador hamiltoniano es tan especial en el caso de generar bases o resolver el estado de un sistema cuántico? ¿Por qué no podemos escribir el estado del sistema en la base del momento, por ejemplo, sin resolver la base propia de H ^ ? Porque si podemos hacerlo, para cualquier sistema, pag ^ | ϕ ⟩ = ϕ | ϕ ⟩ nos daría el estado del sistema como | ψ ⟩ = ∫ | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | ψ ⟩ d ϕ nos daría el mismo estado para todos los sistemas.

Respuestas (1)

A tu primera pregunta, sí. Son solo una base para el espacio de Hilbert. Se pueden usar para expresar cualquier estado como una superposición de elementos básicos y lo mismo es cierto para los estados de cualquier operador hermitiano (cualquier observable). Por lo tanto, podría expresar un estado arbitrario en términos de estados propios de momento, etc.

Para su segunda pregunta, los estados proporcionados por el hamiltoniano son especiales porque están relacionados con la evolución temporal de la función de onda. Simplemente escribir una función como una superposición de otras funciones puede no parecer muy significativo a primera vista, pero aquí el hamiltoniano es el operador responsable de la evolución del tiempo. Dado que los estados propios de energía son estados propios del hamiltoniano, no hay mezcla de estados de energía en el tiempo después de una medición de energía. Esta es la naturaleza detrás de su "coherencia". La medida E colocó al sistema en un estado propio H, la evolución temporal de la función de onda es trivial (una fase escalar multiplicada por el estado de energía de la medición anterior). Todas las medidas E futuras serán las mismas. Mida la posición y la función de onda inmediatamente después de la medición es una función delta de Dirac. Para obtener la evolución temporal correcta, debe escribir la función delta como una superposición si la energía es un estado propio. La evolución temporal no será trivial, la mezcla de estados cambiará en el tiempo y las futuras mediciones de posición diferirán de la última medición. Esto no es coherente.

De hecho, los estados propios hamiltonianos tienen un estatus especial en QM. Algunas de mis declaraciones pueden cambiar si hay un potencial dependiente del tiempo, pero espero que la esencia sea clara.

Gracias por la respuesta @ggcg. ¿Qué pasa con esto de "¿por qué no podemos escribir el estado del sistema en la base del momento, por ejemplo, sin resolver la base propia de H ^ ? Porque si podemos hacerlo, para cualquier sistema, pag ^ | ϕ ⟩ = ϕ | ϕ ⟩ nos daría el estado del sistema como |ψ⟩=∫|ϕ⟩⟨ϕ|ψ⟩dϕ nos daría el mismo estado para todos los sistemas. "
Absolutamente puede escribir el estado de un sistema (en un instante) en términos de los estados de impulso (eso se aborda implícitamente en mi respuesta). Pero no podrá evolucionar el estado a tiempo para un sistema general.
¿Eso no me dará el mismo estado para todos los sistemas?
¡Es mucho mejor! El punto de la superposición es dar una "representación" de un estado dado en términos de otros estados. La pregunta que creo que quieres hacer es qué he ganado al hacer una superposición. En QM los coeficientes de la expansión son amplitudes de probabilidad para medir un valor dado asociado con el observable para el cual la base es un estado propio. Entonces, si expande una función arbitraria en términos de una base de momento, el coeficiente cn dará la probabilidad de medir un valor de pn, etc. Nuevamente, los estados de energía proporcionan una base natural para la evolución del tiempo.
@NamanAgarwal, ¿quiere decir "mismo estado para todos los sistemas" o mismo estado para todas las opciones de base? Esto es diferente.
Me refiero al mismo estado para todos los sistemas.
¿Qué define un "sistema" en su mente? El SHO, el átomo de hidrógeno, etc. El estado lo da tu psi, sea lo que sea. los phi son solo una base para una expansión. Las condiciones de contorno en diferentes sistemas pueden impedir que uno alguna vez coloque diferentes sistemas en el estado psi. Pero para aquellos que se pueden colocar en psi, se obtendría la misma expansión. La evolución temporal sería diferente si el potencial es diferente para cada sistema.
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