Estado cuántico expandido en base o simplemente conjunto ortonormal

Si$B$fuera una base, tendríamos$\mathrm{span}(B) = \mathcal{H}$lo que significa que cualquier elemento del espacio de Hilbert es una combinación lineal finita de vectores de$B$.

Por lo general, en la mecánica cuántica,$\mathrm{span}(B)$solo es denso en$\mathcal{H}$. Esto significa que para obtener un elemento arbitrario, generalmente necesitamos una combinación lineal infinita.

En este sentido, lo que la mayoría de los libros de texto llaman "base ortonormal" no es estrictamente una base. Personalmente, nunca he visto una situación en la mecánica cuántica en la que sea deseable tener una base verdadera para$L^2(\mathbb{R}^d)$. Tal base tendría que ser muy grande. Y en particular, no sería posible escribir sus elementos como$\left | \phi_i \right>$.

Aparte, para algunos espacios de Banach como$L^1$y$L^\infty$, encontrar una base es lo suficientemente difícil como para que importe si acepta el axioma de elección.