Esta pregunta surge de mis intentos por comprender qué representa el valor de verdad de una implicación material con un antecedente falso. He visto varias justificaciones para esta convención, generalmente a través del ejemplo, pero cada una parece implicar que el valor de verdad de la implicación material representa algo diferente. Proporcionaré tres ejemplos a continuación para ilustrar mi razonamiento.
(1) "'Si estoy sano, vendré a clase'. Podemos simbolizarlo, p -> q. La pregunta es: ¿cuándo es falsa esta afirmación? ¿Cuándo habré roto mi promesa?
Se dan dos ejemplos de este escenario cuando el antecedente es falso.
Ej 1: No estoy sano, pero he venido a clase de todos modos. No violé mi promesa; el condicional es verdadero.
Ej 2: No estoy sano, y no vine a clase. No violé mi promesa; el condicional es verdadero.
Análisis: En este ejemplo, el valor de verdad de la implicación material parece representar si un evento falsea o no la implicación dada, o "promesa" en este caso. Si un escenario muestra que la promesa se rompió, la implicación material se etiqueta como falsa. De lo contrario, se etiqueta como verdadero. Tenga en cuenta que el valor de verdad aquí no representa si p realmente implica q en algún sentido, sino solo si la implicación ha sido falsificada o no.
(2) "Si 3 es un cuadrado perfecto, entonces 3 no es primo".
Análisis: Este ejemplo se dio como una forma de dar sentido a tener una implicación material verdadera cuando el antecedente es falso. Debo señalar que no se dio ningún razonamiento explícito para mostrar por qué esto se traduce en una verdadera implicación material, por lo que asumiré la única interpretación que considero sensata para este propósito. En este ejemplo, el valor de verdad de la implicación parece representar si una función proposicional establece o no un hecho verdadero o falso para todos los casos posibles. Lo veo como analizar si la oración "Si x es un cuadrado perfecto, entonces x no es primo". es verdadero o falso. Esto nuevamente significa que el valor de verdad de la implicación material no representa si p realmente implica q, ni tampoco representa si un enunciado dado ha sido o no falsificado como lo hizo el último ejemplo.
(3) El argumento vacío. "Otra forma de mostrar que las paradojas son aceptables para algunas de nuestras intuiciones acerca de la implicación es considerar afirmaciones como: '¡Si el Congreso aprueba una reforma seria al financiamiento de campañas, entonces soy el tío de un mono!' ¡un holandés!" O, "... ¡Soy el Papa!" Estas expresiones son formas extravagantes de afirmar que el antecedente es falso. Pero observe cómo lo hacemos. Decimos que si se permite que esta falsedad permanezca, entonces sigue, incluso el absurdo de que yo soy el Papa. Y este sarcasmo sigue exactamente la lógica de la implicación material. Los falsos antecedentes crean verdaderos condicionales ".
Análisis: El problema con este argumento es que apela a la convención en lugar de a la razón, y el principio subyacente de la convención no es un argumento "vacío" como la comparación quisiera implicar. En el lenguaje cotidiano, proporcionamos un consecuente ridículo como una forma de demostrar cuán improbable es el antecedente, no porque pensemos que el antecedente es falso y, por lo tanto, se sigue algo. Este razonamiento parece implicar que el valor de verdad de la implicación material debería representar si q se sigue o no de p. Esto contrasta con los dos ejemplos anteriores.
Resumen: Cada uno de los tres ejemplos proporcionados anteriormente parece implicar que el valor de verdad de una implicación material representa algo diferente. Estas diferencias se pueden ver a continuación.
En (1) el valor de verdad de la implicación material representa si una implicación ha sido falsificada o no por un escenario dado.
En (2) el valor de verdad de la implicación material representa si una función proposicional es verdadera o no para todos los casos.
En (3) el valor de verdad de la implicación material representa si q se sigue o no de p.
Hay otros argumentos y ejemplos que implican representaciones contrastantes adicionales para el valor de verdad de una implicación material, pero creo que estos ejemplos serán suficientes para mostrar de dónde proviene mi pregunta. ¡Cualquier idea que pueda ofrecer sería muy apreciada!
Comparto su preocupación sobre la aplicación de la implicación material. Es un conectivo útil en matemáticas u otras ramas altamente matemáticas de la ciencia, pero hace poco para captar lo que queremos decir con condicionales en lenguajes naturales. Esta es la razón por la que hay tantas supuestas paradojas de implicación material, que en realidad no son paradojas en absoluto, solo ejemplos de donde la implicación material no explica adecuadamente el uso ordinario.
Para tomar sus tres ejemplos...
Llamaría a esto una promesa condicional en lugar de una declaración condicional. Como tal, no tiene un valor de verdad. En caso de estar sano, cumplo mi promesa viniendo a la clase; en caso de que no lo sea, las condiciones para la promesa no están presentes: no rompí la promesa, pero parece un poco extraño decir que la cumplí.
Esto no funciona como ejemplo de implicación material, porque no logra distinguir los casos que son plausibles de los que no lo son. "Si 3 es un cuadrado perfecto, entonces 3 no es primo" es plausible no porque 3 no sea un cuadrado perfecto, sino porque no todos los cuadrados perfectos son primos. Después de todo, "Si 3 es un cuadrado perfecto, entonces 3 es un número transfinito" es difícilmente plausible, pero tiene el mismo antecedente falso.
Los condicionales holandeses bien pueden tratarse como casos especiales de condicionales. Tienen un propósito retórico en el que, por lo general, alguien puede afirmar alguna proposición P y alguien más responde con "si P, entonces soy holandés", lo que significa que consideran que P es absurdo y, por lo tanto, responden con un absurdo propio.
Hay muchas clases de casos en los que la implicación material no funciona en absoluto como explicación de los condicionales en inglés. Algunos de estos son:
Apuestas en condicionales. Si ofrezco apostar con usted que "si X es nominado para la elección presidencial, entonces X ganará la elección", no estoy apostando a que la implicación material "X nominado -> X elegido" se haga realidad. Si X no está nominado, entonces no hay apuesta.
Comandos condicionales. Si un médico le ordena a una enfermera, "si el paciente todavía está vivo mañana por la mañana, cambie el vendaje", esto no es una orden para que sea el caso de que "paciente vivo -> cambie el vendaje". Si lo fuera, la enfermera podría cumplir. matando al paciente.
Proposiciones sobre probabilidades. Si dice que es probable que "si A entonces B", no quiere decir que sea probable que A -> B, ya que eso sería trivialmente cierto en el caso de que A sea altamente improbable. Lo que significa que es probable que "si A entonces B" es típicamente que la probabilidad condicional P(B | A) es alta. Si tiro un dado justo de seis caras, la probabilidad de "si par entonces un 6" es P(6 | par) que es 1/3; mientras que P( par -> 6 ) es 2/3.
Afirmaciones sobre relaciones causales. La implicación material es simplemente una función de verdad: no dice nada acerca de cómo se relacionan el contenido del antecedente y el consecuente. Cuando hacemos afirmaciones causales, siempre estamos haciendo una afirmación sustancial sobre tal relación. Por lo general, tenemos una especie de modelo interno de cómo pensamos que funciona el mundo y qué cosas son verdaderas en él, y lo usamos para hacer proyecciones sobre lo que sucedería en circunstancias hipotéticas. "Si bebo este veneno, me matará", no es plausible porque no tengo intención de beberlo, pero porque mi modelo de cómo funciona mi cuerpo y lo que le haría beber veneno me sugiere fuertemente que la muerte será la consecuencia causal.
Afirmaciones sobre condicionales donde sabemos (o al menos creemos) que el antecedente es falso. Comúnmente llamados contrafácticos, estos no son trivialmente verdaderos, aunque la implicación material sea verdadera.
Dar sentido a los condicionales ha generado una enorme literatura y todavía no existe una explicación generalmente aceptada de su significado.
Como puedes ver en el post ¿Cuál es el origen de la tabla de verdad en lógica ?, la definición veritativo-funcional de implicación material (o condicional ) fue codificada por los antiguos lógicos estoicos griegos con el llamado condicional filoniano .
En tiempos modernos, fue "redescubierto" por Gottlob Frege en su Begriffsschrift (1879).
Corresponde al punto (1) de su análisis:
un condicional con antecedente verdadero y consecuente falso es falso ; en todos los demás casos es cierto .
Su caso (2) se analiza correctamente como:
∀x (Perf_Sq(x) → ¬ Prime(x)) ;
es una generalización de un condicional (en el pasado llamado "implicación formal"; vea la publicación: ¿hay una implicación "inmaterial"? ).
Para (3) , hay que considerar que la relación de consecuencia lógica (o vinculación ) es lo que define:
Un buen argumento es aquel cuyas conclusiones se derivan de sus premisas; sus conclusiones son consecuencias de sus premisas.
Es una relación que se da entre un conjunto Γ de oraciones (las premisas ) y una oración A (la conclusión ) simbolizada con:
Γ ⊨ A
y "descubierto por Aristóteles con su noción de deducción ( sullogismos ):
Una deducción es un discurso ( logos ) en el que, habiéndose supuesto ciertas cosas, algo diferente de las supuestas resulta necesariamente por serlo. ( Análisis previo I.2, 24b18–20)
Cada una de las “cosas supuestas” es una premisa del argumento, y lo que “resulta de necesidad” es la conclusión .
La relación entre consecuencia lógica y condicional es:
UN ⊨ segundo si ⊨ un → segundo ,
pero tenemos que considerar que los dos no son lo mismo: por ejemplo, la definición de consecuencia lógica no cambia también cuando el lenguaje no tiene condicional ( → ) conectivo.
Implicación material, equivalencias lógicas, prueba por contraposición:
Demuestro que la contraposición de una implicación material (X), llamada contrapositiva de esa implicación (X*), es lógicamente equivalente a esa implicación material (X): X ≡ X*.
Dado el condicional material P -> Q, P se denomina "antecedente" y Q se denomina consecuente en esta forma (implicación directa de P a Q).
Si el antecedente (P) es verdadero, entonces la implicación material (->) se cumple solo si el consecuente (Q) también es verdadero. Es decir, un verdadero antecedente/premisa/condición (P) sólo puede implicar un verdadero/consecuente/conclusión/consecuencia (Q).
Si el antecedente (P) es verdadero y el consecuente (Q) es falso, entonces la implicación no se cumple (verdadero). Es decir, un antecedente verdadero no puede implicar un consecuente falso: la verdad no puede implicar falsedad. Esta es la única opción para la cual la implicación material no se cumple, es decir, el operador/conectivo (->) da como resultado falso si y solo si el antecedente (P) es verdadero y el consecuente (Q) es falso.
Si el antecedente (P) es falso, entonces P implica materialmente Q, independientemente de si Q es verdadero o falso. De la falsedad se sigue cualquier cosa. Es decir, un antecedente falso (P) implica el consecuente (Q) tanto en el caso en que Q es falso como en el caso en que Q es verdadero. Para obtener más información, consulte el "principio de explosión" que dice en latín: "Ex falso sequitur quodlibet" = "De la falsedad se sigue cualquier cosa".
Ejemplo 1 (con un consecuente falso): "Si 2+2 = 5, entonces soy dios" tanto P como Q son falsas, pero la implicación se mantiene (verdadera).
El ejemplo 2 (con un consecuente verdadero): "Si Julio César invade América del Norte, hablo algo de latín" también es válido. (Hablo un poco de latín).
Ejemplo 3: "Si escribes una publicación excelente, te daré $10". Este condicional constituye una promesa. Veamos para qué combinaciones de valores de verdad de P y Q, la promesa (implicación) es válida (verdadera).
Let: P := Escribes una gran publicación, y
Vamos: P := Te doy $10.
Supongamos que el caso 1 es el caso: "Escribes una excelente publicación y te doy $10". ¿Se mantiene la implicación o he roto mi promesa? He cumplido mi promesa en respuesta a su gran publicación. La implicación es válida (verdadera).
Supongamos que el caso 2 es el caso: "Escribes una gran publicación, pero no te doy $10". ¿Se mantiene la implicación o he roto mi promesa? De hecho, he roto mi promesa, porque no he cumplido el consecuente del condicional, dado un antecedente verdadero. Por lo tanto, para esta opción, la implicación no se cumple (verdadero), es decir, la implicación genera un valor de verdad falso.
Supongamos que el caso 3 es el caso: "No escribes una gran publicación y te doy $10". ¿He roto mi promesa? Mi promesa se basó en que escribieras un gran post, y no dice nada sobre lo que sucedería si el antecedente fuera falso. Mi promesa (implicación) simplemente establece lo que debería suceder si el antecedente fuera verdadero. Si no escribes una buena publicación, pero aun así te doy $10, entonces, estrictamente hablando, no he violado mi promesa. Por tanto, la implicación se cumple (verdadera), con un antecedente falso (P) y un consecuente verdadero (Q).
Supongamos que el caso 4 es el caso: "No escribes una gran publicación y no te doy $ 10". Aquí, aunque tanto el antecedente (P) como el consecuente (Q) son ambos falsos, la implicación se mantiene (verdadera). Una falsedad puede implicar una falsedad, porque de la falsedad se sigue cualquier cosa.
P -> Q significa "P materialmente implica Q", que se establece como la siguiente declaración condicional material (si-entonces): "Si P, entonces Q". El condicional material P -> Q implica que P es una condición suficiente para Q.
Dada la declaración condicional material (si-entonces) (P -> Q), el operador/conectivo (->) se denomina implicación material, que establece un condicional material "Si P (es el caso), entonces Q (sigue) ", que puede enunciarse de manera equivalente como "Q si P", lo que a su vez equivale a enunciar "P sólo si Q", lo que implica que P es condición suficiente para Q, que se representa de la siguiente manera: P => Q.
Además, la suficiencia de P para Q es lógicamente equivalente a la necesidad de Q para P: [P => Q] <= lógicamente equivalente a => [Q <= P].
Considere las siguientes cuatro opciones:
De ahora en adelante, permita que el símbolo (≡) denote equivalencia lógica y (≡|≡) denote no equivalencia lógica.
Considere el condicional original (P -> Q) con la implicación material (hacia adelante) (->), conectando P con Q, de modo que P se establece como una condición suficiente para Q.
Refiramos a P -> Q como el condicional material "original":
Tenga en cuenta que:
El inverso (A3) puede derivarse por la contraposición del inverso (A2): invirtiendo la dirección de la implicación en (A2) y negando la P y la Q. Nótese que así como la contraposición del original produce el contrapositivo ( del original), donde el contrapositivo es lógicamente equivalente al original, así también la contraposición del inverso produce el inverso (del original), que es lógicamente equivalente al inverso. Por tanto, la contraposición de un condicional (C) da válidamente otro condicional (C*) que es lógicamente equivalente al condicional (C): C ≡ C*.
El valor de verdad de un condicional material P -> Q representa una afirmación de que Q no es menos cierto que P. Dadas las premisas de P y un condicional material verdadero P -> Q, una conclusión de Q es deductivamente válida, es decir, será no introducir un nuevo error.
Mauro ALLEGRANZA
usuario6559
P≤QiffQse cumple en todas las circunstanciasP, y posiblemente más). La implicación es meramente la forma proposicional del ordenamiento. Es la proposición más débil (más grande)Xcon la propiedad de queX∧P≤Q. Estoy demasiado cansado para escribir una respuesta completa en este sentido.Dan Christensen