"→" es el símbolo de la implicación material. ¿Existe tal cosa como "implicación inmaterial"?

No hay ninguna implicación "inmaterial".

El término "implicación material" se originó con Bertrand Russell, The Principles of Mathematics (1903); véase la Parte I: Capítulo III. Implicación e Implicación Formal para:

• Dos clases de implicación, la material y la formal .

Véase en W&R, Principia Mathematica la notación de implicación (la "herradura") ⊃; en el uso "material", es un conector entre proposiciones:

*1.2 ⊢: JcJ. ⊃ . pag ,

mientras que en el uso formal es una relación entre "clases":

*10·02 φx ⊃x ψx . = . (X). φx ⊃ ψx .

Ver :

• Alfred North Whitehead y Bertrand Russell, Principia Mathematica hasta *56 (2.ª ed., 1927), página 7.

Hoy, el condicional material tiene que ser comparado con otros condicionales: el subjuntivo y los condicionales contrafácticos ; ver :

• Graham Priest, Introducción a la lógica no clásica: de si a es (2.ª ed., 2008), página 13.

La implicación material, la forma habitual de implicación en matemáticas, define P => Q equivalente a ~[P y ~Q]. Algunos se sienten incómodos con la idea de que si P es falsa y Q es falsa, entonces P => Q es verdadera. Tal vez eso se deba a que la notación sugiere alguna relación causal, por ejemplo, que tal vez P cause Q, o Q cause P. Su pensamiento puede ser: ¿Cómo puede P causar Q si P es falso? O algo por el estilo.

Me gusta usar el siguiente ejemplo. Considere la afirmación: "Si está lloviendo, entonces está nublado".

Lloviendo => Nublado

Esto no significa que la lluvia provoque nubosidad. O que la nubosidad provoque lluvia. Tampoco es el caso. La declaración significa simplemente que no puede estar lloviendo y no nublado simultáneamente.

~[ Lloviendo & ~ Nublado ]

Esto será cierto si no está lloviendo y no está nublado (es decir, si tanto el antecedente como el consecuente del enunciado condicional son falsos). Nada extraño o contrario a la intuición sobre eso.

Como persona matemática, no veo la necesidad de ningún otro tipo de condicionales, pero aquí hay una lista de algunas formulaciones alternativas de Wiki:

• Condicional contrafactual
• Indicativo condicional
• Condicional correspondiente
• Condicional estricto

ACTUALIZACIÓN 3 AÑOS DESPUÉS:

Para conocer mi último pensamiento sobre la implicación material, vea mi publicación de blog Implicación material: si los cerdos pudieran volar. Allí derivo la tabla de verdad usando nociones de implicación de uso común.

Este video ofrece una buena descripción general de muchos tipos de implicaciones.

El material de origen para su conferencia fue principalmente A Philosophical Guide to Conditionals de Jonathan Bennett .

No es exactamente una respuesta, pero podría ser útil:

En la Física de Aristóteles distingue entre causas; hay cuatro tipos, entre ellos está el formal y el material.

La causa formal es lo que causa la figura o forma de algo: la causa formal de la vasija es el alfarero. La causa material es de lo que está hecha la vasija: la arcilla.

Por supuesto, no puede haber vasija si el alfarero no está allí para dar forma a la arcilla; ni puede haber vasija, si el alfarero no tiene barro. Ambas causas son necesarias en esta situación.

Las causas son consecuencias; y lo que es una consecuencia puede entenderse como una implicación. Esto enlaza con dos tipos de lógica en Aristóteles, la formal y la material. La lógica formal son proposiciones verdaderas por la forma - el silogismo - por ejemplo; siendo la primera proposición del famoso ejemplo:

Sócrates es mortal

La lógica material es la verdad por correspondencia. ¿Existe, de hecho, un Sócrates?

Una vez más, ambos son necesarios para establecer un conocimiento objetivo.

Se podría decir entonces que la implicación inmaterial es la formal.