¿Alguien puede explicar en términos simples qué es exactamente una lógica de primer orden?
Desde mi punto de vista de aficionado, creo que la lógica de primer orden es una especie de sistema de símbolos y reglas y operaciones lógicas generales definidas en ese conjunto de símbolos de tal manera que una lógica de primer orden tiene algún "poder" de expresión ( es decir, algunos enunciados se pueden representar en lógica de primer orden y se pueden deducir algunos teoremas sobre lógica de primer orden).
Sin embargo, cuando se trata de teoremas, ahí es donde estoy atascado, porque, básicamente, no sé qué se puede probar exactamente en lógica de primer orden, incluidos los teoremas sobre declaraciones en lógica de primer orden y sobre declaraciones compuestas, y también teoremas sobre la propia lógica de primer orden.
Entonces, ¿alguien puede dar aquí, en términos tan simples como sea posible, una explicación y descripción de una lógica de primer orden? Preferiblemente, lo más corto posible.
Además, ¿hay solo una lógica de primer orden o hay muchas lógicas de primer orden, cada una de las cuales difiere de todas las demás en los axiomas que se utilizan para construir tal teoría?
FOL es el entorno de lógica natural para formalizar teorías matemáticas.
La característica básica del cálculo de predicados es el uso de cuantificadores : la lógica de primer orden es cálculo de predicados donde la cuantificación está restringida a variables individuales (variables que se extienden sobre "objetos") y la cuantificación sobre variables de predicados (es decir, variables que se extienden sobre "propiedades") no lo es. permitido.
El cálculo proposicional, en cambio, es solo un "juguete": se basa en un modelo de lenguaje muy simplificado que no es útil para desarrollar teorías interesantes, pero puede usarse de manera eficiente para estudiar las propiedades básicas de un sistema formal: consistencia, completitud , etc.
Con FOL tenemos el "motor lógico", es decir, la sintaxis del lenguaje con axiomas y reglas, y normalmente lo estudiamos de forma similar al estudio del cálculo proposicional, para comprender las propiedades metalógicas básicas.
Cuando estudiamos FOL "puro", definimos la relación de derivabilidad ( ⊢ ), donde :
⊢ φ significa: "la fórmula φ es derivable en el cálculo", y Γ ⊢ φ significa: "la fórmula φ es derivable en el cálculo a partir del conjunto Γ de supuestos".
Con él demostramos el Teorema fundamental de Solidez y Completitud :
Γ ⊢ φ iff Γ ⊨ φ , donde el símbolo ⊨ significa consecuencia semántica .
Además del estudio de la lógica de predicados "pura", estamos interesados en agregar al "motor lógico" constantes no lógicas adecuadas, como ∈ ("en"), la relación binaria de la teoría de conjuntos, o + y × (" plus" y "times"), las operaciones aritméticas básicas, con los axiomas adecuados que rigen su comportamiento.
Así, según los símbolos y axiomas matemáticos específicos introducidos, tenemos diferentes teorías matemáticas; cuando el conjunto de axiomas es la versión de primer orden de los axiomas de Peano , tenemos PA , es decir, teoría de la aritmética de primer orden .
Lo mismo para ZF , es decir, la Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel .
Desafortunadamente, no todas las propiedades matemáticas interesantes se pueden expresar con FOL; ver Lógica de segundo orden y de orden superior .
La lógica de predicados de primer orden se basa en la lógica proposicional (que también se denomina lógica de predicados de orden 0).
Los operadores lógicos de la lógica proposicional (predicado de orden 0):
La lógica de primer orden (FOL) incluye todos los operadores de la lógica proposicional, y les agrega los siguientes 3 operadores:
La identidad (=) nos ayuda a simbolizar
∃xG(x): algún x existe tal que es un G(), donde G(x): = " x es un dios". = "Algún dios existe"
∀xG(x): toda x es tal que es una G(). = "Todos los dioses" / "Todos los dioses"
En resumen:
donde x es una variable predicada, puede referirse a cualquier cosa en el dominio del discurso (dominio: el conjunto de todas las personas).
donde G() es un predicado, donde G(x) es una variable proposicional.
Conifold
Mauro ALLEGRANZA