La mayoría de los sistemas lógicos tendrán dos formas distintas de vinculación, una es la vinculación basada en el sistema (consecuencia lógica) y la otra es la vinculación basada en pruebas (derivabilidad). En el primero, se sigue una vinculación de mostrar cómo, en todos los casos, se conserva un valor designado. En este último, se utiliza un conjunto de reglas para probar que se cumple una vinculación.
La completitud es el paso que nos permite afirmar que la vinculación basada en el sistema implica una vinculación basada en la prueba; 𝛤⊨P ⇒ 𝛤⊢P.
¿Se considera que los sistemas que carecen de esta regla han fallado? ¿Hay filósofos que consideren la completitud o la falta de completitud como una virtud de un sistema?
¿Se considera que los sistemas que carecen de esta regla han fallado?
No necesariamente. Depende de lo que considere los aspectos más importantes de un sistema.
¿Hay filósofos que consideren la completitud o la falta de completitud como una virtud de un sistema?
Sí. Algunos filósofos otorgan un lugar privilegiado al poder deductivo. Aquí tengo en mente a alguien tal vez de la tradición inferencialista dummettiana. A su luz, para lo que sirve la lógica es para formalizar argumentos (de primer orden). Dado este objetivo, la incompletud semántica no es deseable, porque significa que su sistema de prueba no puede capturar algunas implicaciones. Estos filósofos considerarán problemática una falla en la completitud semántica (como en el caso de la lógica de segundo orden, como señala Mauro), porque su proyecto requiere una estrecha conexión entre la implicación lógica y la validez deductiva.
Otros filósofos, sin embargo, otorgan un lugar privilegiado al poder expresivo. Los estructuralistas matemáticos son un ejemplo aquí. A la luz de estos filósofos, lo que importa es que fijemos estructuras, de los números naturales, por ejemplo. Dado que solo puede hacer eso en segundo orden, debe renunciar a la integridad semántica para hacerlo. Estos filósofos no considerarán que la lógica de segundo orden haya 'fallado', aunque sea semánticamente incompleta, porque hace precisamente lo que ellos quieren que haga: caracterizar estructuras con precisión.
Términos técnicos: derivabilidad ( ⊢ ) versus consecuencia lógica ( ⊨ ).
La completitud del sistema de prueba es una propiedad muy, muy agradable: asegura que el sistema de prueba capture completamente nuestra comprensión "natural" de la relación básica "a partir de".
Por supuesto, la falta de completitud no es una "virtud", pero hay lógicas interesantes que no están completas.
Consulte Lógica de segundo orden: los sistemas deductivos para la lógica de segundo orden no pueden estar completos para la semántica estándar .
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