Tengo curiosidad acerca de por qué solo existen los dos cuantificadores lógicos y para todos . La intuición y el lenguaje humano respaldan la idea de que estos cuantificadores tienen sentido, pero por lo demás parece arbitrario (al menos desde una perspectiva de lógica formal y simbólica) que solo existan estos dos.
De hecho, en realidad solo hay un cuantificador, porque "para todo x: P(x)" se puede expresar como "no existe x: no P(x)". (O alternativamente, podríamos definir de manera similar que existe en términos de para todos ).
Lo que realmente quiero saber es si hay otros cuantificadores lógicos "atómicos", es decir, cuantificadores que no pueden construirse simplemente a partir de, por ejemplo, el cuantificador existencial y otros símbolos lógicos básicos como not , and , and or . En particular, existe un único no cuenta, ya que se puede construir a partir de símbolos más básicos.
En resumen, ¿puede haber más de un cuantificador lógico "atómico" y, de no ser así, por qué?
Sí, el término clave es " cuantificadores generalizados ". Se estudian en los contextos del lenguaje natural y de la lógica matemática. Me centraré en el lado lógico, del que sé más.
Un nombre que surge en ambos contextos es Jon Barwise, y este artículo de Vaanaanen describe gran parte del trabajo de Barwise sobre cuantificadores generalizados; este artículo de Barwise sobre lenguaje natural puede ser de particular interés. Y el artículo de SEP también es bastante bueno.
Para empezar, es un resultado estándar que cada uno de los siguientes cuantificadores no es definible a partir de los habituales:
Existen infinitas cosas que satisfacen p .
Existen exactamente k-muchas cosas que satisfacen p (para algún k cardinal infinito fijo ).
Existen al menos k-muchas cosas que satisfacen p (para algún k cardinal infinito fijo ).
Al menos tantos x satisfacen p como satisfacen ~p .
Y muchos otros.
(Básicamente, aplique compacidad y Lowenheim-Skolem según corresponda).
También hay cuantificadores que se aplican a situaciones más ricas que las meras estructuras de primer orden: por ejemplo, si estamos viendo una estructura equipada con una topología, tenemos el cuantificador "El conjunto de cosas que satisface p es denso", y con una medida en mano tenemos el cuantificador "El conjunto de cosas que satisfacen p tiene medida positiva.
Además, hay cuantificadores generalizados que son sintácticamente más complicados que los habituales, por ejemplo, el cuantificador del "mismo número" (o Hartig ) : para las fórmulas p , q escribimos Ixy( p (x), q (y)) para "{x: p (x)} tiene la misma cardinalidad que {y: q (y)}". Incluso ignorando la semántica de $I$, simplemente se ve diferente (se une a dos fórmulas en lugar de una).
El estudio de sistemas lógicos utilizando cuantificadores generalizados es parte de la teoría de modelos abstractos , que generalmente estudia la lógica más allá de la lógica de primer orden; el texto estándar sobre el tema es la colección Model-Theoretic Logics .
Finalmente, para abrir el apetito por el tema (y proporcionar una especie de resultado negativo), permítanme mencionar un teorema: el teorema de Lindstrom :
No existe un sistema lógico estrictamente más fuerte que la lógica de primer orden que tiene tanto la compacidad como las propiedades descendentes de Lowenheim-Skolem .
En particular, todos los cuantificadores generalizados genuinamente diferentes tienen algún "desenfreno lógico" fundamental: no podemos agregar ninguno de ellos a nuestra lógica sin cambiar sus propiedades básicas.
(Estoy siendo un poco vago aquí, por ejemplo, ¿qué significa exactamente "sistema lógico" aquí? Se puede encontrar una declaración precisa y una prueba del teorema en el Capítulo 2 de la colección mencionada anteriormente o al final de Ebbinghaus-Flum-Thomas .)
WillG
usuario76284
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