¿Es necesario cerrar un conjunto GGG bajo una operación binaria ⋆⋆\star para (G,⋆)(G,⋆)(G, \star) para ser un grupo?

hace un conjunto$G$necesita ser cerrado bajo una operación binaria$\star$para$(G, \star)$ser un grupo?

Definición (Operación Binaria): Una operación binaria , en un conjunto$G$es una funcion

$$\star : G \times G \to G$$

Definición (Grupo): Un grupo , es un par ordenado$(G, \star)$dónde$G$se establece, y$\star$es una operación binaria en$G$satisfaciendo los siguientes axiomas

1. $(a \star b) \star c = a \star (b \star c) \forall a, b, c \in G$
2. $\exists e \in G$(llamada identidad de$G$) tal que$a \star e = e \star a = a \forall a \in G$
3. Para cada$a \in G$, hay un$a^{-1}$en$G$(llamada inversa de$a$) tal que$a \star a^{-1} = a^{-1} \star a = e$

si para algunos$a, b \in G$,$\not\exists \ c \in G$tal que$a \star b = c$. Es$(G, \star)$sigue siendo un grupo?

yo se que para comprobar eso$(G, \star)$es un grupo todo lo que tenemos que hacer es verificar los axiomas para un grupo y verificar que las propiedades necesarias (de las cuales el cierre no es una), se cumplen, lo que me lleva a creer que$(G, \star)$es de hecho un grupo, aunque no está cerrado bajo$\star$.

Pero quizás lo más importante, no puedo ver por qué uno definiría un grupo de esta manera (aparte de que obviamente es más general). No puedo ver que la motivación para el cierre no sea un axioma para un grupo (de nuevo, aparte de la generalidad).

Como debemos saber por los axiomas del espacio vectorial, que$V$es un espacio vectorial solo si está cerrado tanto en la suma como en la multiplicación, que es de donde surgió esta pregunta.

Aún más generalmente, ¿hay alguna razón aparte de la generalidad, de por qué algunas estructuras matemáticas tienen un axioma para el cierre bajo una operación binaria (por ejemplo, suma/multiplicación, etc.) y otras no?