Intuición equivalencia modular de elementos en grupos generales con elemento en subgrupo (Herstein)

Dejar GRAMO ser un grupo, H es un subgrupo de GRAMO ; para a , b ∈ GRAMO decimos a es congruente con b modificación H , Escrito como a ≡ b modificación H si a b − 1 ∈ H

Herstein, Temas de álgebra abstracta , página 34.

¿Cuál es la motivación detrás de la definición anterior?

Mis pensamientos:

Supongo que está haciendo algo con el hecho de que un subgrupo divide al grupo en una unión de clases laterales disjuntas de ese subgrupo. En aritmética modular decimos equivalencia si los residuos son iguales... pero me cuesta entender en qué sentido se piensa que los elementos son residuos aquí.

Respuestas (1)

La noción usual de congruencia en números enteros dice que a ≡ b modificación norte si y solo norte ∣ ( a − b ) , o a − b ∈ norte Z .

si tomamos GRAMO = ( Z , + ) y H = norte Z , entonces a b − 1 = a − b y podemos reescribir esto como

a ≡ b modificación H ⟺ a b − 1 ∈ H .
Esta es una motivación para definir esto en general.

En realidad, muchos conceptos de la teoría de grupos se pueden ilustrar con el grupo de números enteros y esto a menudo tiene una buena interpretación de la teoría de números elemental.

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