¿Por qué es necesaria la asociatividad para los grupos?

No es que se requiera asociatividad para los grupos... Eso es bastante al revés: la verdad es que los grupos son asociativos.

Su pregunta parece provenir de la idea de que las personas decidieron cómo definir los grupos y luego comenzaron a estudiarlos y encontrarlos interesantes. En realidad, sucedió al revés: la gente había estudiado los grupos mucho antes de que alguien diera una definición. Cuando se acordó una definición, las personas observaron los grupos que tenían a mano y vieron que eran asociativos (y que esa era una información útil sobre ellos cuando se trabajaba con ellos), por lo que se incluyó en la definición.

Si se me permite decirlo, es esto lo que es importante entender. La forma en que enseñamos álgebra abstracta hoy en día oscurece un poco este hecho, pero así es como esencialmente todo llega a ser.

Los grupos son una abstracción. ¿Qué abstraen? La idea de simetría . Las simetrías son funciones de un conjunto a sí mismo que conservan alguna estructura de ese conjunto; por ejemplo, las simetrías de un cuadrado son rotaciones y reflejos, y conservan la "cuadratura" (para decirlo vagamente).

La multiplicación en un grupo abstrae la composición de las simetrías (por ejemplo, "rotar$90^{\circ}$, luego reflexiona sobre la línea$x = y$"), y la composición de funciones es siempre asociativa.

La respuesta del formalista es: es sólo una definición. También podría considerar estudiar estructuras algebraicas que satisfagan todos los axiomas para un grupo excepto la asociatividad, y entonces estaría estudiando bucles .

Ahora la pregunta podría ser: ¿por qué el estudio de grupos es más ubicuo que el estudio de bucles? Hay razones históricas (seguramente otros con mayor conocimiento pueden ampliar esto), y el hecho de que la mayoría de los bucles que surgen naturalmente al hacer matemáticas son en realidad grupos probablemente también sea una razón.

En resumen, porque así es como elegimos definirlos, porque agregar asociatividad nos permite estudiar ciertas cosas con mayor solidez.

Hay estructuras algebraicas que son similares a grupos pero que no satisfacen todos esos axiomas. Un cuasi-grupo no necesita ser asociativo, y un ciclo no necesita ser asociativo, pero debe tener unidad.

Entonces, puede sonar circular, pero un grupo debe ser asociativo porque si no lo es, entonces no es un grupo. Una pregunta más acertada puede ser "¿por qué estudiamos teoría de grupos y no teoría de cuasigrupos?" En algunos sentidos, la asociatividad nos da más libertad y poder.

Lo importante de entender es que cumplir con estos 4 axiomas es todo lo que se necesita para ser un grupo : en matemáticas, construimos objetos al imponerles condiciones a ellos y a los agregados subyacentes. (No estoy usando el término "conjunto" ya que las matemáticas no siempre tratan con conjuntos, pero se entiende la idea.) Lo que nos permite construir una teoría en torno a un objeto definido en particular es el hecho de que cualquier cosa que elijamos para las propiedades ser, esas propiedades deben ser consistentes entre sí.Son las consecuencias de la coexistencia constante de esas propiedades las que le dan a cualquier objeto sus propiedades distintivas enunciadas en el cuerpo de teoremas y corolarios. Y esa es la respuesta a su pregunta: resulta que si no tiene asociatividad, es decir, si el axioma (2) es falso, entonces el axioma (4) es falso porque entonces puede tener un conjunto que tiene inversas izquierdas que son no son inversas correctas y la definición asume que la inversa (así como la identidad) tiene 2 lados. Considere un elemento x de un grupo G donde hay una identidad única e y un inverso izquierdo l y un inverso derecho r para x. Entonces, por el axioma (4), deben ser iguales ya que ambos producen la identidad única y todo inverso debe tener 2 lados. Pero:

l = l*e = 1*( x*r) = (1*x)*r = e*r= r.

Pero claramente el hecho de que l = r depende de la asociatividad de la operación. Sea lo que sea esta estructura algebraica, no es un grupo sin ella.

Espero haber respondido a tu pregunta.