En un endomorfismo de grupo entre dos conjuntos, ¿debe ser igual la operación binaria de los dos conjuntos?

¿Qué significa "lo mismo" aquí? ¿Quieres decir que las tablas de multiplicar deben coincidir exactamente? ¿Algo más?

@lulu: Sí, quiero decir que las tablas de multiplicar deben coincidir exactamente, es decir, las funciones $\ast$y $\cdot$son iguales. He editado mi publicación para aclarar esto.

Entonces, por supuesto, la respuesta es No. Considere el grupo cíclico de orden $6$, generado por un elemento $a$o orden $2$y un elemento $b$de orden $3$. También podríamos tener el mismo conjunto pero ahora $a$tiene orden $3$y $b$tiene orden $2$. El mapa que intercambia $a,b$es un isomorfismo, pero las leyes de grupo no son "lo mismo".

O, más simplemente, tome el grupo de orden $2$y cambiar el papel de la identidad y el generador.

Pero...normalmente sólo se habla de leyes de grupo "hasta el isomorfismo". los nombres que asigne a los diversos elementos del grupo no significan mucho.

Creo que lo que significa el OP es esto. Considere un homomorfismo $j:G\to H$, donde el conjunto de elementos para $G$y el conjunto de elementos para $H$tienen la misma cardinalidad. ¿Es el caso que cualquier biyección $f:H\to G$usamos, consideramos $g\mapsto f(j(g))$como un endomorfismo? No de acuerdo con la definición de un endomorfismo de grupo como se vincula en mi respuesta

@lulu: ¿Puedo dar un ejemplo para asegurarme de que te entiendo? Dejar $G=\{a,b\}$y considerar los grupos $(G,\ast)$y $(G,\cdot)$, dónde $\ast$y $\cdot$se definen de la siguiente manera: $$a\ast a=a \quad b\cdot b=b\\ a\ast b=b \quad b\cdot a = a\\ b\ast a=b \quad a\cdot b=a\\ b\ast b=a \quad a\cdot a=b$$ Creo que lo que estás diciendo es que la función $\phi:G\to G$que mapas $a$a $b$y $b$a $a$es un endomorfismo, como el dominio de $\phi$es igual al codominio, y la operación de grupo se conserva.

El problema aquí es, creo, ¿cuáles son los objetos en la categoría que tiene en mente? Solo estoy acostumbrado a considerar grupos hasta el isomorfismo. Estoy de acuerdo en que es diferente si dice que cambiar los nombres produce un nuevo objeto en su categoría.