¿Cómo lo hicieron (realmente) Newton y Kepler?

Hoy, si quiero calcular una órbita elíptica de algún objeto debido a la gravedad de otro, uso la integración de Runge-Kutta y puedo ver los pasos individuales que uso que se muestran en ese artículo.

Volviendo "en el día..." Kepler, Newton y otros podrían haber usado lo que ahora llamamos la Ecuación de Kepler : METRO = mi − mi pecado ⁡ ( mi ) donde dado M uno tenía que resolver para E.

Me gustaría ver cómo Kepler, Newton y contemporáneos similares realizaron el cálculo de la posición en la órbita durante un tiempo específico. ¿Hay reproducciones o imágenes de sus notas que muestren los pasos reales que cada uno de ellos usó para resolver esta ecuación?

¿Utilizaron también Newton o Leibniz alguna forma de integración como método independiente para obtener el movimiento de una órbita elíptica? ¿Hay imágenes o reproducciones de esos cálculos disponibles en alguna parte?

Newton no necesitaba hacer lo que pareces pensar que hizo. Estás hablando del problema de encontrar la posición para un tiempo dado, asumiendo que las leyes de Kepler son verdaderas. Newton no estaba preocupado por eso. Su gran logro fue probar las leyes de Kepler a partir de sus propias leyes de movimiento.
@BenCrowell: a lo largo de su vida productiva, Newton tuvo muchos "grandes logros" diferentes y una gran variedad de preocupaciones. Es uno de los grandes "unpidgeonholeables" de todos los tiempos. Teniendo en cuenta sus contribuciones a las matemáticas, ¿está absolutamente seguro de que no hay evidencia en ninguna parte de que haya aplicado alguna de esas técnicas al movimiento de planetas o satélites?
@BenCrowell ¡Lo que estás tratando de explicarme aquí finalmente se está asimilando, un año después! Ahora entiendo lo que quieres decir con " Newton no necesitaba hacer lo que pareces pensar que hizo ". - ver esto . Debería limpiar mi comentario de caveleir, pero lo dejaré por un tiempo al menos como un recordatorio para mí. ¡Gracias de nuevo!
Puede disfrutar este artículo: Cómo Gauss se hizo famoso : maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/…
@Escualo Puedo ver que lo disfrutaré mucho, ¡gracias!

Respuestas (3)

Goldstine, A History of Numerical Analysis from the 16th through the 19th Century (1977), describe el enfoque de Kepler (p. 47), que puede encontrarse en Epitome Astronomiae Copernicanae de Kepler (1618), cap. 4, libro V., págs. 665 y ss. Es un algoritmo numérico iterativo de Kepler llamado regula positionum . Goldstine describe los pasos de un ejemplo, que comienza en la p. 686 del Epitome , pero no desarrolla la teoría (¿probablemente porque no fue seminal?). Los números de Goldstine no siempre coinciden con los de Kepler; puede haberlos corregido o tomado de un extracto que contiene esta sección impresa (y traducida) en Great Books of the World , vol. 16 (1952), págs. 998-999 (referencia de Goldstine).

Goldstine (p. 64) también se refiere a las soluciones de Newton, que se pueden encontrar en Principia , Libro I, Prop. XXXI (Prob. XXIII) y Escolio. (Tenga en cuenta que la referencia de Goldstine "Problema XXII" es un error tipográfico).

Newton primero da una solución que involucra una rueda rodante, a la que se fija la órbita elíptica. La rueda rueda una distancia que depende del tiempo transcurrido, mientras que un punto de la elipse fijado a la rueda traza una cicloide. Luego construye el punto en la órbita y muestra que ha barrido el área correcta.

Luego, admitiendo que el método anterior es difícil de resolver, Newton da una solución por aproximación en el escolio. El método de Newton es, qué más, el Método de Newton (a menudo llamado hoy en día el Método de Newton-Raphson), aunque se presenta en los términos geométricos del problema.

¡Fantástico! Esto es fascinante. Gracias por encontrar estos. El enlace de Google a Goldstine es útil, y encontré algunas copias en bibliotecas cercanas. Si hubiera tenido la previsión de preguntar "¿*Qué método usó Newton para resolver la ecuación de Kepler?", ¡podrías haber respondido con dos palabras!

Las Pruebas de Kepler lo ayudarán a comenzar su búsqueda.

Este artículo menciona 987 páginas de folio de aritmética; también deberías mirar las tablas y métodos de Copérnico.

Bien, esa es una "hoja de ruta" inicial útil, gracias. Me pregunto si esas son realmente 987 páginas de Kepler tratando de descubrir cómo calcular la órbita de Marte. Solo estoy buscando un ejemplo claro del cálculo real de una posición, dado un tiempo (después del periapsis) en sí mismo. Casi titulé esta pregunta "¿ Cómo resolvió Kepler realmente la ecuación de Kepler ?", pero luego incluí a Newton porque pensé que mejoraría las posibilidades de una respuesta definitiva.

En la época de Kepler, no sólo Runge-Kutta, sino la noción misma de la ecuación diferencial no estaba disponible :-)

Si realmente desea ver cómo Kepler calculó las órbitas, ¿por qué no echa un vistazo a su propio trabajo, Astronomia Nova, que está disponible en traducción al inglés?

¡Gracias! Sí, comencé con el enlace al método RK para dar un ejemplo claro de lo que busco: una ilustración del método real utilizado para calcular la posición, dado el tiempo. Si el método que usó Kepler se conoce de Astronomia Nova o de otro lugar, entonces estoy seguro de que los estudiosos de la historia de la ciencia y las matemáticas lo habrán encontrado, escrito sobre él y posiblemente capturado ejemplos en forma de imágenes. Eso es lo que necesito encontrar, así como algo análogo a la resolución de posición de Newton, dado el tiempo.
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