¿En qué se diferenciaron las versiones del método NR de Newton & Raphson?

Según A Short History of Newton's Method de Peter Deuflhard , Newton comenzó familiarizándose con los métodos de Vieta, que habían sido simplificados por Oughtred. (El método de Vieta ya era conocido por al-Kāshī, quien publicó un método usando la técnica de perturbación de Vieta en 1427, aunque parece que Vieta desconocía el trabajo de al-Kāshī).

Como ejemplo, discutió la solución numérica del polinomio cúbico

$$f(x) := x^3 - 2x - 5 = 0.$$ Newton notó por primera vez que la parte entera de la raíz es $2$configuración $x_0 = 2$. A continuación, por medio de $x = 2 + p$, obtuvo la ecuación polinomial $$p^3+6p^2+10p-1 = 0.$$ Descuidó los términos superiores al establecimiento de primer orden. $p ≈ 0.1$. A continuación, insertó $p = 0.1 + q$y construimos la ecuación polinomial $$q^3 + 6.3q^2 + 11.23q + 0.061 = 0.$$ Nuevamente, despreciando los términos de orden superior, encontró $q ≈ −0.0054$. Continuación del proceso un paso más lo llevó a $r ≈ 0.00004853$y por lo tanto a la tercera iteración $$x_3 = x_0 + p + q + r = 2.09455147.$$

Deuflhard continúa

En 1690, Joseph Raphson (1648-1715) logró evitar el tedioso cálculo de los polinomios sucesivos, reproduciendo el esquema de cálculo al polinomio original; en este esquema ahora totalmente iterativo, también mantuvo todos los lugares decimales de las correcciones. Tenía la sensación de que su método difería del método de Newton al menos por su derivación.

Tenga en cuenta que ni Newton ni Raphson mencionan derivados, incluso si, como señala Deuflhard:

Nótese que las relaciones$10p − 1 = 0$y$11.23q + 0.061 = 0$dado anteriormente corresponden precisamente a

$$p = x_1 − x_0 = −f(x_0)/f′(x_0)$$ y para $$q = x_2 − x_1 = −f(x_1)/f′(x_1).$$

Finalmente

En 1740, Thomas Simpson (1710-1761) introdujo derivados ('fluxiones') en su libro 'Ensayos sobre varios temas curiosos y útiles en matemáticas especulativas y mixtas [¡Sin errores tipográficos!], Ilustrado con una variedad de ejemplos'. Escribió la iteración verdadera para una ecuación (no polinomial) y para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, haciendo así la extensión correcta a los sistemas por primera vez. Su notación ya es bastante cercana a la nuestra actual (que parece remontarse a J. Fourier).

También vale la pena señalar que, según UBC Math

A primera vista, el método que usa Newton no se parece al método de Newton que conocemos. ¡Ni siquiera se menciona la derivada, aunque el mismo manuscrito desarrolla la versión newtoniana de la derivada !

(Énfasis mío).

El método de Newton de aproximación sucesiva a raíces de ecuaciones apareció impreso por primera vez en 1685 en 'Un tratado de álgebra, tanto histórico como práctico' de John Wallis en pp.338-347, Cap.XCIV y XCV, 'Un nuevo método para extraer raíces en Ecuaciones simples y afectadas', que contiene también la atribución de Wallis a Newton. Esta presentación ha sido discutida por Niccolo Guicciardini, quien ha remarcado que la descripción de Newton 'se basa en ejemplos concretos... un oficio más que una teoría': N Guicciardini (2009), 'Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method ' .

Newton publicó otro ejemplo concreto del método en los 'Principia' (todas las ediciones, desde 1687), en el Libro 1, Prop.31 (Escolio). Este ejemplo fue una aplicación del método para resolver una ecuación que define la posición orbital de un planeta, una versión del problema de Kepler. El ejemplo fue discutido en 1882 por John Couch Adams ( Mensual Notices of the Royal Astronomical Society 43, pp.43-49), quien señaló que en la primera edición de los Principia, Newton había intentado describir un refinamiento del método, pero había cometido un error (equivalente a olvidarse de actualizar una de las 'variables temporales' en la iteración); Newton corrigió la descripción (modificada en la segunda y tercera ediciones) con una versión simplificada del método de convergencia cuadrática. En la traducción de 1999 de los Principia de Newton, el método aparece en las páginas 514-515 (Isaac Newton, 'The Principia... A new Translation', I Bernard Cohen, Anne Whitman, 1999).

El método de Raphson de aproximaciones sucesivas a raíces de ecuaciones se publicó por primera vez en su 'Analysis Aequationum Universalis', 1690, que tuvo al menos tres ediciones. (Ni Newton ni Raphson usaron ninguna notación cercana a la moderna "-f(x)/f'(x)" para las correcciones iterativas).

El método de Raphson ha sido discutido y comparado con el método de Newton por F Cajori entre otros (1911, American Mathematical Monthly, Vol.18, 29-32). Cajori mostró cómo el método de Raphson se parecía al de Newton, especialmente en que ambos usaron un divisor para la siguiente corrección que evalúa, en efecto, (lo que en la notación moderna sería) f'(r), donde r era el valor corregido más reciente. . (Pero ninguno de ellos usó una notación simbólica como f'(r), expresaron cada caso de la cantidad en una forma polinomial extendida, por ejemplo).

Pero donde Newton había derivado cada paso sucesivo de aproximación a la raíz a partir de una ecuación recién formada derivada de la original, Raphson, más cercano en ese aspecto al procedimiento moderno, encontró cada valor corregido sucesivo por sustitución en la ecuación original. (Cajori también comentó que los precursores de Newton, como Vieta, habían usado un principio diferente y generalmente no equivalente para evaluar el divisor relevante. Pero en algunos casos de ejemplo específicos, el valor del divisor de Vieta había coincidido con el valor del divisor de Newton, que había llevado a algunos comentaristas a asimilar erróneamente el método de Newton con el de Vieta.)

Cajori dio una historia de los métodos y, en vista de la importante modificación de Raphson, propuso el nombre de método 'Newton-Raphson' como una etiqueta atributiva más precisa que el nombre 'método de Newton', que había sido actual. Su sugerencia, hecha hace más de un siglo, parece haberse afianzado, 'Newton-Raphson' se usa ampliamente para denotar la versión moderna del método.

Detalles completos en mi artículo: Desarrollo histórico del método Newton-Raphson , publicado en SIAM Review en 1995. El artículo de Deuflhard es básicamente un resumen de ese trabajo.