¿Por qué usamos la “versión” del cálculo de Leibniz en lugar de la de Newton?

Hay muchas notaciones para derivadas, ya que el concepto se ha ampliado de muchas maneras diferentes. Por ejemplo, también está la operativa D de Heaviside. También se usa para la derivada de Frechet y Gateaux (que se usa implícitamente en la notación para fibrados tangentes en geometría diferencial).

Newton eligió una notación para facilitar su uso. Como físico, estaba principalmente interesado en las derivadas primera y segunda del tiempo. Dado que la variable dependiente se entiende implícitamente, no hay necesidad de que la notación refleje esto. Por lo tanto, solo necesitaba indicar el grado de la derivada. Este es un número entero. Compre ya que solo nos interesan los dos primeros, 1 y 2, no tenemos que indicar el grado con un prefijo numérico (como lo hacen en algunas notaciones), simplemente podemos indicarlo con un punto simple o doble. Es más rápido y más conveniente.

Cuando uno está interesado en el cálculo por sí mismo, entonces es necesaria una notación más completa. En este se debe indicar el grado, las variables dependientes e independientes. Así, la notación de Liebniz es aquí más natural.

Si Newton hubiera estado más interesado en la geometría que en la física, y Liebniz más interesado en la física que en la geometría, habría sido probable que hubiéramos visto cómo se intercambiaban sus notaciones. En otras palabras, la notación asociada con sus nombres reflejaba sus intereses.

(Vale la pena agregar que hacer geometría diferencial con lógica intuicionista permite la introducción de infinitesimales que está mucho más cerca de cómo Newton los concibió, sus fluxiones, en lugar de las técnicas tradicionales épsilon-delta del análisis tradicional. Además, generalizan a la dimensión infinita. contexto perfectamente, a diferencia del cálculo habitual para el que existen muchas técnicas diferentes).

Muchos libros de texto en inglés utilizaron la notación y la terminología de Newton durante mucho tiempo. Por ejemplo, consulte Hutton, 1807, https://archive.org/details/acoursemathemat02huttgoog , que usa la notación de puntos y términos como "fluido". Todavía usamos elementos de la notación de Newton en muchos campos. Por ejemplo, en física, si tienes una función de posición y tiempo, es común usar puntos para derivadas temporales y números primos para derivadas espaciales.

La notación de Leibniz tiene algunas ventajas objetivas. A diferencia de la notación de Newton, facilita el análisis dimensional y funciona bien cuando tiene muchas variables diferentes con respecto a las cuales puede estar diferenciando o integrando. Funciona ya sea que desee pensar en términos de variables o funciones, límites o infinitesimales.

La notación de Newton se presentó de manera poco clara y muchas personas no entendieron cómo pretendía que se usara. Tenía una notación$o$para un cambio infinitesimal en la variable independiente, de modo que si$x$depende de$t$, entonces lo que en la notación de Leibniz se escribiría como$dx$se escribiría en la notación de Newton como$\dot{x}o$. Pero tenía una convención abreviada de escribir esto como$\dot{x}$, omitiendo el$o$cuando el contexto dejó en claro que lo que se pretendía era un cambio infinitesimal en$x$. Esto confundió a sus lectores. Hay una discusión sobre esto en Boyer, https://archive.org/details/TheHistoryOfTheCalculusAndItsConceptualDevelopment en la p. 201.