¿Qué inversa de −(∂2+m2)−(∂2+m2)-(\parcial^2 + m^2) debería usarse en la integral de trayectoria?

La partición funcional para el campo escalar libre es

$$Z=\int D\varphi e^{i\int d^4x[-\frac{1}{2}\varphi (\partial^2+m^2)\varphi+J\varphi]}.\tag{1}$$ Para evaluar esta integral funcional, generalmente la comparamos con el caso discreto $$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}...\int_{-\infty}^{\infty} dq_1 dq_2...dq_N e^{(i/2)q\cdot A\cdot q+iJ\cdot q}=\left(\frac{(2\pi i)^N}{\det[A]}\right)^{\frac{1}{2}} e^{-(i/2)J\cdot A^{-1}\cdot J},$$ dónde $A^{-1}$es la inversa de la matriz $A$. Ahora, por analogía, generalmente tomamos el resultado de la ecuación (1) como $$Z=\mathcal{C}e^{-(1/2)\int\int d^4x d^4y J(x)D(x-y)J(y)},\tag{2}$$ dónde $D(x-y)$se dice que es el inverso del operador $-(\partial^2+m^2)$(Creo que debería ser $-(\partial_x^2+m^2)\delta(x-y)$en un sentido más riguroso). A saber, $$\int d^4y -(\partial_x^2+m^2)\delta(x-y)D(y-z)=-(\partial_x^2+m^2)D(x-z)=\delta(x-z),\tag{3}$$ un análogo de $A^i_j{A^{-1}}^j_k=\delta^i_k$en el caso discreto.

Pero ahora tengo una pregunta. Como no existe un único inverso del operador$-(\partial_x^2+m^2)\delta(x-y)$(recuerde que necesitamos condiciones de contorno adicionales para obtener una solución específica a la ecuación (3), vea mi otra pregunta aquí ), entonces, ¿qué función de Green$D(x-y)$debe usarse en la ecuación (2)?

¿Y cuál es el significado físico de que elegimos la función de Green?

$$D(x-y)=\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\frac{e^{ik(x-y)}}{k^2-m^2},\tag{4}$$ donde descuido el $i\epsilon$? Aparentemente, podemos en principio agregar cualquier función $g(x-y)$a la ecuación (4) siempre $$-(\partial_x^2+m^2)g(x-z)=0.$$