Integración sobre un campo de calibre en la teoría abeliana de Chern-Simons en el formalismo integral de campo

Question

Integración sobre un campo de calibre en la teoría abeliana de Chern-Simons en el formalismo integral de campo

Física
propagador
teoría de calibre
integral de trayectoria
chern-simons-theory
teoría cuántica de campos

Greg Gravitón

Actualmente estoy tratando de estudiar un capítulo en Altland & Simons, "Teoría del campo de materia condensada" (2ª edición) y estoy atascado al final de la sección 9.5.2, página 579.

Dada la acción euclidiana de Chern-Simons para un campo de norma abeliano $a_µ$ que está acoplado a una corriente $j_µ$

S [a_{µ}, j_{µ}] = \int d^{3} X (j_{µ} a_{µ} + \frac{i θ}{4} ε_{µ v λ} a_{µ} \partial_{v} a_{λ})

$S[a_µ,j_µ] = ∫d^3x (j_µ a_µ + \frac{iθ}4ε_{µνλ}a_µ ∂_ν a_λ)$

la tarea es integrar el campo de calibre y obtener la acción efectiva para la corriente.

Dado que este es un campo de calibre, debemos tener cuidado con el grado de libertad de calibre superfluo. Nota de Altland & Simons en la mitad de la p. 579 que una forma de hacerlo sería introducir un término de fijación de calibre $α (∂_µ a_µ)^2$ y deja $α\to ∞$ al final.

Sin embargo, esto no parece funcionar. En el espacio de cantidad de movimiento, la acción de Chern-Simons más los términos de fijación de calibre es proporcional a

\int d^{3} q a_{µ} (- q) {(\begin{array}{ccc} α q_{0}^{2} & - i q_{2} & i q_{1} \\ i q_{2} & α q_{1}^{2} & - i q_{0} \\ - i q_{1} & i q_{0} & α q_{2}^{2} \end{array})}_{µ v} a_{v} (q) .

$∫ d^3q\ a_µ(-q) \left( \begin{array}{ccc} \alpha q_0^2 & -i q_2 & i q_1 \\ i q_2 & \alpha q_1^2 & -i q_0 \\ -i q_1 & i q_0 & \alpha q_2^2 \end{array} \right)_{µν} a_ν(q) .$

Para obtener la acción efectiva para la corriente, solo tengo que invertir esta matriz, que llamamos $A_{µν}$ , y enviar $α\to ∞$ . Pero esto no puede ser. Por ejemplo, una entrada de la matriz inversa dice

A_{01}^{- 1} = \frac{- q_{0} q_{1} - i q_{2}^{3} α}{q_{1}^{2} q_{2}^{2} q_{0}^{2} α^{3} - α (q_{0}^{4} + q_{1}^{4} + q_{2}^{4})}

$A^{-1}_{01} = \frac{-q_0 q_1-i q_2^3 \alpha }{q_1^2 q_2^2 q_0^2 \alpha ^3- α(q_0^4+q_1^4+q_2^4) }$

y esto se desvanece en el limite $α\to∞$ . Lo mismo para las otras entradas. Esto es malo.

Mi pregunta, por eso

Cómo realizar correctamente la integral funcional sobre un campo de calibre $a_µ$ con una contribución de fijación de calibre $α(∂_µ a_µ)^2$ dónde $α\to ∞$ ?

Soy consciente de que existen otros métodos, por ejemplo, integrar solo sobre los grados de libertad transversales, como señalan Altland & Simons. No me importa aprender sobre ellos también, pero me gustaría entender el que se presenta aquí en particular. Sin mencionar que es posible que haya cometido un simple error en el cálculo anterior.

Olaf

En caso de que la gente no se dé cuenta (solo me di cuenta por la respuesta de @Moshe): el error cometido anteriormente es que

α (\partial_{μ} a_{ν})^{2} = α (\partial_{μ} a_{μ}) (\partial_{ν} a_{ν})

$\alpha(\partial_\mu a_\nu)^2 = \alpha(\partial_\mu a_\mu) (\partial_\nu a_\nu)$ , por lo que cada matriz

A_{μ ν}

$A_{\mu \nu}$ la entrada debe contener el término

α q_{μ} q_{ν}

$\alpha q_\mu q_\nu$ . Ahora mismo esto solo aparece en los componentes diagonales.

Greg Gravitón

Vaya, de hecho. Este término corresponde y debe corresponder a la proyección

L_{µ ν} a_{ν} = \frac{q_{µ} q_{ν}}{q^{2}} a_{ν}

$L_{µν} a_ν = \frac{q_µq_ν}{q^2} a_ν$ sobre los grados de libertad longitudinales.

Respuestas (1)

Integración sobre un campo de calibre en la teoría abeliana de Chern-Simons en el formalismo integral de campo

En caso de que la gente no se dé cuenta (solo me di cuenta por la respuesta de @Moshe): el error cometido anteriormente es que $\alpha(\partial_\mu a_\nu)^2 = \alpha(\partial_\mu a_\mu) (\partial_\nu a_\nu)$ , por lo que cada matriz $A_{\mu \nu}$ la entrada debe contener el término $\alpha q_\mu q_\nu$ . Ahora mismo esto solo aparece en los componentes diagonales.
Vaya, de hecho. Este término corresponde y debe corresponder a la proyección $L_{µν} a_ν = \frac{q_µq_ν}{q^2} a_ν$ sobre los grados de libertad longitudinales.

David Bar Moshé · Answer 1

En el caso que nos ocupa creo que es más conveniente realizar el cálculo del propagador de forma covariante (y no en componentes).

El propagador inverso (en el espacio de cantidad de movimiento) se puede leer a partir de la acción de Abelian Chern Simons, incluido el término de fijación de calibre como:

$G^{-1}_{\mu\nu}(k) = \alpha q_{\mu} q_{\nu} + i \frac{\theta}{4} \epsilon_{\mu\nu\rho}q^{\rho}$

Para el propagador usamos el Ansatz:

$G_{\sigma\tau}(k) = \beta q_{\sigma} q_{\tau} + i \gamma \epsilon_{\sigma\tau\eta}q^{\eta}$

Los parametros $\beta$ y $\gamma$ debe calcularse a partir de la condición:

$G^{-1}_{\mu\nu}(k) \delta^{\nu\sigma} G_{\sigma\tau}(k)= \delta_{\mu\tau}$

Tenga en cuenta que el propagador no puede contener un término proporcional a $\delta_{\nu\sigma}$ , porque de este término resultaría un término proporcional a $\epsilon_{\mu\sigma\tau}q^{\tau}$ después de la contracción con el propagador inverso que no se puede cancelar con ningún otro término.

Obtenemos:

$(\alpha \beta q^2 -\frac{\theta}{4} \gamma) q_{\mu} q_{\tau} + \frac{\theta}{4} \gamma q^2 \delta^{\mu\tau} = \delta^{\mu\tau}$

(Donde, se utilizó la siguiente identidad: $\delta^{\nu \sigma}\epsilon_{\mu\nu\rho} \epsilon_{\sigma\tau\eta} = \delta_{\mu \eta}\delta_{\rho \tau}- \delta_{\mu \tau}\delta_{\rho \eta}$ )

De este modo:

$\gamma = \frac{4}{\theta q^2}$

$\beta = \frac{\theta \gamma }{4 \alpha q^2} = \frac{1}{\alpha q^4}$

De este modo $\beta$ se desvanece en el límite $\alpha \to \infty$ y nos quedamos con la acción efectiva:

$\frac{1}{\theta}\int d^3q J^{\sigma}(-q) \frac{\epsilon_{\sigma\tau\eta}q^{\eta}}{q^2} J^{\tau}(-q)$

El factor 4 se cancela con un factor similar proveniente de la terminación de cuadrados.

¡Gracias! Ahora también entiendo por qué el método de dejar $α\to ∞$ funciona para cualquier acción invariable de indicador. La razón es simplemente que una acción invariante de calibre se proyecta sobre los grados de libertad transversales mientras que la expresión $\frac{q_νq_µ}{q^2}$ proyectos sobre el grado de libertad longitudinal.
Me gustaría preguntar qué pasó con los dos términos cruzados (imaginarios) al evaluar la condición del propagador $G^{−1}_{μν}(k)δ^{νσ}G_{στ}(k)=δ_{μτ}$ , ya que solo los dos términos reales parecen quedar en su expresión $(αβq^2−\frac{θ}{4}γ)q_μq_τ+\frac{θ}{4}γq^2δ^{μτ}=δ^{μτ}$ .
@dgwp Son idénticamente iguales a cero debido a la simetría $\epsilon_{\mu \nu \rho}q^{\mu}q^{\nu}q^{\rho} = 0$

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Greg Gravitón

Olaf

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dgwp

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