Propagador de fotones en integral de trayectoria

En la teoría de campos escalares, la función de dos puntos viene dada por

$$\langle{0}| T\phi(x) \phi(y) |0\rangle= \int D[\phi] \phi(x) \phi(y) \exp[i\int d^4x\mathcal{L_{scalar}}]$$ introduciendo el funcional generador

$$Z=\int D\phi \exp[i\int d^4x(\mathcal{L_{scalar}}+J\phi )]$$ tenemos

$$\langle{0}| T\phi(x) \phi(y) |0\rangle=\frac{1}{i^2} \frac{\delta Z[J]}{\delta J (x) \delta J (y)}\bigg|_{J=0}$$ Ahora, en QED, el propagador de fotones que interactúa está dado por

$$\langle{0}| TA_\mu(x) A_\nu(x)|0\rangle=\int [DA] A_\mu(x) A_\nu(y) \exp[i\int d^4x \mathcal{L_{qed}}]\tag 1$$

dónde

$$\mathcal{L_{qed}} =\overline{\psi}(-i\gamma^\mu \partial_\mu +m)\psi+\frac{1}{4}F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}+J^{\mu}A_\mu$$ con$J^{\mu} = \bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi$

Ahora por lo general en los libros de texto definen

$$Z=\int DA \exp[i\int d^4x\mathcal{L_{qed}} ]$$

y

$$\langle{0}| TA_\mu(x) A_\nu(y)|0\rangle=\frac{1}{i^2} \frac{\delta Z[J]}{\delta J^\mu(x) \delta J^\nu (y)}\bigg|_{J=0} \tag 2$$

Pero si ponemos$J=0$estamos desactivando la interacción. ¿No deberíamos tener

$$\langle{0}| TA_\mu(x) A_\nu(y)|0\rangle=\frac{1}{i^2} \frac{\delta Z[J]}{\delta J^\mu(x) \delta J^\nu (y)}~? \tag 3$$ Entonces tendríamos$(1)=(3).$