Amplitud de transición de vacío a vacío usando integral funcional

Question

Amplitud de transición de vacío a vacío usando integral funcional

vacío
Física
propagador
integral de trayectoria
teoría cuántica de campos
funciones de correlación

M.Zeng

La amplitud de transición de vacío a vacío para una partícula libre con fuente $J$ es dado por

Z_{0} [j] = \int D ϕ mi X pag {- i \int [\frac{1}{2} ϕ (◻ + {metro}^{2} - i ϵ) ϕ - ϕ j] d^{4} X}

$Z_0[J]=\int D\phi \mathrm{exp}\{-i\int [\frac{1}{2}\phi(\square +m^2-i\epsilon)\phi-\phi J]d^4x\}$ Dejar

P = ◻ + m^{2} - i ϵ

$P=\square+m^2-i\epsilon$ , entonces el integrando en el exponente es básicamente una forma cuadrática en términos de

ϕ

$\phi$ . Si completamos el cuadrado y usamos el producto interior definido para campos reales por

(F, gramo) = \int d^{4} X F gramo,

$(f,g)=\int d^4xfg,$ entonces tendremos (poniendo

\bar{ϕ} = P^{- 1} J

$\bar{\phi}=P^{-1}J$ )

\begin{aligned} Z_{0} [j] & = \int D ϕ mi X pag {- [\frac{i}{2} (ϕ - \bar{ϕ}, PAG (ϕ - \bar{ϕ})) + \frac{i}{2} (\bar{ϕ}, j) - i (j, \bar{ϕ})]} \\ = \frac{1}{\sqrt{d mi t (i PAG)}} \int D ϕ mi X pag {\frac{i}{2} ({PAG}^{- 1} j, j) - i (j, {PAG}^{- 1} j)} \\ = \frac{1}{\sqrt{d mi t (i PAG)}} \int D ϕ mi X pag {\frac{i}{2} \int j {PAG}^{- 1} j d^{4} X}, \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{split} Z_0[J]&=\int D\phi\mathrm{exp}\{-[\frac{i}{2}(\phi-\bar{\phi},P(\phi-\bar{\phi}))+\frac{i}{2}(\bar{\phi},J)-i(J,\bar{\phi})]\}\\ &=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{det}(iP)}}\int D\phi\mathrm{exp}\{\ \frac{i}{2}(P^{-1}J,J)-i(J,P^{-1}J)\}\\ &=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{det}(iP)}}\int D\phi\mathrm{exp}\{\ \frac{i}{2}\int JP^{-1}Jd^4x \}, \end{split} \end{equation*}$ que obviamente es diferente del resultado correcto que se muestra en Ryder. La diferencia es la integración que sigue al término determinante. Para su referencia, este término debe ser

\int D ϕ mi X pag {- \frac{i}{2} \int j (X) Δ_{F} (X - y) j (y) d^{4} X d^{4} y},

$\int D\phi \mathrm{exp}\{-\frac{i}{2}\int J(x)\Delta_F(x-y)J(y)d^4xd^4y\},$ dónde

Δ_{F}

$\Delta_F$ es el propagador de Feynman. Entonces, ¿alguien podría ayudar a depurar mi derivación, muy apreciado?

Respuestas (2)

Amplitud de transición de vacío a vacío usando integral funcional

Vladímir Kalitvianski · Answer 1

Vladímir Kalitvianski

Tu relación (solución) $\bar{\phi}=P^{-1}J$ es una relación integral de hecho donde $P^{-1}$ es una función de Green o el propagador de Feynman. Tienes que escribir los argumentos correctamente y obtendrás el resultado correcto.

M.Zeng

Estoy consciente de

P^{- 1}

$P^{-1}$ es en realidad un propagador de Feynman, pero todavía no veo cómo se produce la integración. ¿Podría ser más específico? gracias

Simón

Vladímir tiene razón. Intenta pensar en

ϕ

$\phi$ y

J

$J$ como vectores con un índice continuo

x

$x$ y entonces

P

$P$ y

P^{- 1}

$P^{-1}$ son matrices indexadas por

x

$x$ y

y

$y$ . Para que esto funcione, la versión funcional de

P

$P$ es en realidad

P (x, y) = (◻ + m^{2} - i ϵ) δ^{4} (x, y)

$P(x,y) = (\square+m^2-i\epsilon)\delta^4(x,y)$ dónde

δ

$\delta$ es la función delta de Dirac.

M.Zeng

no veo porque

P

$P$ se puede poner para ser esta forma. ¿Podría proporcionar más detalles si no le importa?

M.Zeng · Answer 2

En realidad, lo que obtuve es equivalente a la forma dada en Ryder, tenemos

PAG Δ_{F} (X) = - d^{4} (X)

$P\Delta_F(x)=-\delta^4(x)$ , entonces

Δ_{F} (X) = - {PAG}^{- 1} d^{4} (X)

$\Delta_F(x)=-P^{-1}\delta^4(x)$ , de la que también tenemos

Δ_{F} (X - y) = - {PAG}^{- 1} d^{4} (X - y)

$\Delta_F(x-y)=-P^{-1}\delta^4(x-y)$ , dónde

P^{- 1}

$P^{-1}$ no se verá afectado ya que es un operador de diferenciación con respecto a

x

$x$ . En consecuencia, podemos extraer

P^{- 1}

$P^{-1}$ de la expresión anterior por integrar con respecto a

y

$y$ . La forma final entonces puede ser puesta como

\int {\int j (X) Δ_{F} (X - y) d y} j (X) d X

$\int \{\int J(x)\Delta_F(x-y)dy\}J(x)dx$ o

\int \int j (X) Δ_{F} (X - y) j (y) d X d y

$\int \int J(x)\Delta_F(x-y)J(y)dxdy$ donde este último es exactamente igual al de Ryder.

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