¿Qué indican los índices en notación de 4 vectores?

Question

¿Qué indican los índices en notación de 4 vectores?

Física
vectores
sistemas coordinados
relatividad especial

Bruce Wayne

¿Qué indican los índices en notación de 4 vectores? ¿Son los componentes del vector o el vector mismo? Tengo un poco de confusión después de este artículo de Wikipedia . Dado que los índices se suman, ¿cómo puede el lado izquierdo tener algún índice? ¿Podría explicar por favor?

Notación

Las notaciones en este artículo son: negrita minúscula para vectores tridimensionales, sombreros para vectores unitarios tridimensionales, negrita mayúscula para vectores cuatridimensionales (excepto para el gradiente de cuatro) y notación de índice tensorial.

Álgebra de cuatro vectores

Cuatro vectores en una base de valor real

Un cuatro vector A es un vector con un componente "temporal" y tres componentes "espaciales", y se puede escribir en varias notaciones equivalentes:

$\begin{aligned} A & = (A^{0}, A^{1}, A^{2}, A^{3}) \\ = A^{0} {mi}_{0} + A^{1} {mi}_{1} + A^{2} {mi}_{2} + A^{3} {mi}_{3} \\ = A^{0} {mi}_{0} + A^{i} {mi}_{i} \\ = A^{α} {mi}_{α} \\ = A^{m} \end{aligned}$ ${\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3})\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{1}\mathbf {E} _{1}+A^{2}\mathbf {E} _{2}+A^{3}\mathbf {E} _{3}\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{i}\mathbf {E} _{i}\\&=A^{\alpha }\mathbf {E} _{\alpha }\\&=A^{\mu }\end{aligned}}$

( Fuente )

charlie

Tenga en cuenta que es muy común en física hacer poca o ninguna distinción entre un tensor y sus componentes. Es común referirse a

A^{μ}

$A^\mu$ como "un vector" o

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ (en GR) como "la métrica" cuando lo que realmente queremos decir es "los componentes del vector

A

$A$ " y "los componentes del tensor

g

$g$ ".

Bruce Wayne

Me he encontrado con eso de lo que hablas un par de veces. A veces dicen vectores, a veces componentes vectoriales y realmente me confunde. Gracias por su respuesta. Pero tengo otra pregunta. Si multiplico un vector de cuatro por algo con el mismo índice, ¿siempre obtendría un escalar?

charlie

A^{μ} X_{μ}

$A^\mu X_\mu$ sería un escalar, donde usamos la convención de suma y estrictamente tenemos un índice hacia arriba y un índice hacia abajo (es decir,

A^{μ} X^{μ}

$A^\mu X^\mu$ no es un escalar, de hecho sería una cosa completamente inválida de escribir). Estas reglas se explican en cualquier texto que incluya una introducción a la notación de índice tensorial (generalmente encontrada por primera vez en relatividad especial o electromagnetismo).

Bruce Wayne

Pero si multiplico un índice superior A y un vector base de índice inferior, ¿no nos da esto el vector A que no es un escalar? ¿Me estoy perdiendo de algo?

charlie

Los vectores base son especiales, una base es una colección de vectores indexados .

{\vec{e}}_{i}

$\vec{e}_i$ no significa "los componentes del vector

e

$e$ , significa "el

i

$i$ th vector base". Usando la convención de suma de nuevo

X^{μ} {\vec{e}}_{μ}

$X^\mu \vec{e}_\mu$ es un vector expandido en una base. El hecho de que usemos índices y la convención de suma para componentes y vectores base es un poco confuso al principio.

Bruce Wayne

Gracias por sus respuestas, así que cuando un índice aparece dos veces (un superior y otro inferior), ¿podemos decir que obtendríamos una cantidad invariable de una manera más general?

charlie

No necesariamente, las cantidades invariantes son escalares. pero algo como

T^{μ ν} X_{μ} = V^{ν}

$T^{\mu\nu}X_{\mu}=V^\nu$ no es un escalar, el resultado es un vector (esto generalmente se llama "contracción de tensor/índice"), tenga en cuenta nuevamente que estoy llamando

V^{ν}

$V^\nu$ un vector cuando técnicamente no debería. Algo como

X^{μ} V_{μ}

$X^\mu V_\mu$ es un escalar sin embargo, y esa es una cantidad verdaderamente invariante. Sin embargo, tenga cuidado porque (como de costumbre) en física a menudo abusamos de la terminología y llamamos a cualquier cantidad tensorial "invariante" (en oposición a covariante , la palabra más correcta).

Respuestas (3)

¿Qué indican los índices en notación de 4 vectores?

Tenga en cuenta que es muy común en física hacer poca o ninguna distinción entre un tensor y sus componentes. Es común referirse a $A^\mu$ como "un vector" o $g_{\mu\nu}$ (en GR) como "la métrica" cuando lo que realmente queremos decir es "los componentes del vector $A$ " y "los componentes del tensor $g$ ".
Me he encontrado con eso de lo que hablas un par de veces. A veces dicen vectores, a veces componentes vectoriales y realmente me confunde. Gracias por su respuesta. Pero tengo otra pregunta. Si multiplico un vector de cuatro por algo con el mismo índice, ¿siempre obtendría un escalar?
$A^\mu X_\mu$ sería un escalar, donde usamos la convención de suma y estrictamente tenemos un índice hacia arriba y un índice hacia abajo (es decir, $A^\mu X^\mu$ no es un escalar, de hecho sería una cosa completamente inválida de escribir). Estas reglas se explican en cualquier texto que incluya una introducción a la notación de índice tensorial (generalmente encontrada por primera vez en relatividad especial o electromagnetismo).
Pero si multiplico un índice superior A y un vector base de índice inferior, ¿no nos da esto el vector A que no es un escalar? ¿Me estoy perdiendo de algo?
Los vectores base son especiales, una base es una colección de vectores indexados . $\vec{e}_i$ no significa "los componentes del vector $e$ , significa "el $i$ th vector base". Usando la convención de suma de nuevo $X^\mu \vec{e}_\mu$ es un vector expandido en una base. El hecho de que usemos índices y la convención de suma para componentes y vectores base es un poco confuso al principio.
Gracias por sus respuestas, así que cuando un índice aparece dos veces (un superior y otro inferior), ¿podemos decir que obtendríamos una cantidad invariable de una manera más general?
No necesariamente, las cantidades invariantes son escalares. pero algo como $T^{\mu\nu}X_{\mu}=V^\nu$ no es un escalar, el resultado es un vector (esto generalmente se llama "contracción de tensor/índice"), tenga en cuenta nuevamente que estoy llamando $V^\nu$ un vector cuando técnicamente no debería. Algo como $X^\mu V_\mu$ es un escalar sin embargo, y esa es una cantidad verdaderamente invariante. Sin embargo, tenga cuidado porque (como de costumbre) en física a menudo abusamos de la terminología y llamamos a cualquier cantidad tensorial "invariante" (en oposición a covariante , la palabra más correcta).

Andrés Steane · Answer 1

La confusión surge del hecho de que uno comúnmente quiere considerar lo que se llama transformaciones pasivas en oposición a las transformaciones activas. La idea puede verse en tres dimensiones y luego generalizarse a partir de ahí.

uno no debe escribir ${\bf u} = u^a$ , es un abuso de notación. Pero se puede usar un símbolo sin índices, como $\bf u$ o $U$ , en más de una forma, como explicaré.

Suponer $\bf u$ es un vector en tres dimensiones. Entonces podemos escribir

tu = {tu}^{1} {\hat{mi}}_{1} + {tu}^{2} {\hat{mi}}_{2} + {tu}^{3} {\hat{mi}}_{3}

${\bf u} = u^1 \hat{\bf e}_1 + u^2 \hat{\bf e}_2 +u^3 \hat{\bf e}_3$ dónde

u^{i}

$u^i$ son las componentes del vector y

{\hat{e}}_{i}

$\hat{\bf e}_i$ son un conjunto de vectores base. Supongamos que esos vectores base están alineados a lo largo de los ejes de coordenadas de algún sistema rectangular de coordenadas.

Ahora considere el efecto de una rotación $R$ . Podemos rotar el vector ${\bf u}$ para obtener algún otro vector ${\bf v} = R {\bf u}$ . Esto se llama una transformación activa. El vector cambia a un vector diferente.

Pero también podemos considerar una rotación de los ejes de coordenadas, sin rotar nuestro vector $\bf u$ . Esto se llama una transformación pasiva porque $\bf u$ no cambia. Si rotamos los ejes de coordenadas, encontraremos que los vectores a lo largo de las nuevas direcciones de los ejes de coordenadas no son los mismos que los que se encuentran a lo largo de las direcciones de los ejes de coordenadas anteriores, así que usemos un número primo para indicar esta distinción:

{\hat{mi}}_{i}^{'} = R {\hat{mi}}_{i} .

$\hat{\bf e}'_i = R \hat{\bf e}_i.$ De esto se sigue que

{\hat{mi}}_{i} = R^{- 1} {\hat{mi}}_{i}^{'} .

$\hat{\bf e}_i = R^{-1} \hat{\bf e}'_i.$ Este hecho puede ser útil de notar, pero para los propósitos presentes es más útil simplemente notar que los viejos vectores base

{\hat{e}}_{i}

$\hat{\bf e}_i$ pueden escribirse en términos de los nuevos vectores base como una suma lineal. Así que cada uno

{\hat{e}}_{i}

$\hat{\bf e}_i$ es igual a alguna suma de

{\hat{e}}_{i}^{'}

$\hat{\bf e}'_i$ y encontraremos

tu = {tu}^{' 1} {\hat{mi}}_{1}^{'} + {tu}^{' 2} {\hat{mi}}_{2}^{'} + {tu}^{' 3} {\hat{mi}}_{3}^{'}

${\bf u} = u'^1 \hat{\bf e}'_1 + u'^2 \hat{\bf e}'_2 +u'^3 \hat{\bf e}'_3$ dónde

u^{' i}

$u'^i$ son un nuevo conjunto de coeficientes, llamados componentes. El punto es que el vector

u

$\bf u$ no ha cambiado pero los componentes

u^{' i}

$u'^i$ son diferentes de los componentes

u^{i}

$u^i$ porque los vectores base

{\hat{e}}_{i}^{'}

$\hat{\bf e}'_i$ son diferentes de los vectores base

{\hat{e}}_{i}

$\hat{\bf e}_i$ .

Un ejemplo de este hecho, ahora en 4 dimensiones, es la relación ampliamente utilizada

{tu}^{' a} = Λ_{m}^{a} {tu}^{m}

$u'^a = \Lambda^a_{\;\mu} u^\mu$ dónde

Λ_{b}^{a}

$\Lambda^a_{\; b}$ es la transformación de Lorentz y ahora estoy adoptando la convención de suma de Einstein. En la relatividad general esto se generaliza a

{tu}^{' a} = \frac{\partial X^{' a}}{\partial X^{m}} {tu}^{m} .

$u'^a = \frac{\partial x'^a}{\partial x^\mu} u^\mu.$

Hasta ahora hemos mantenido una distinción estricta entre un vector $\bf u$ y sus componentes $u^a$ o $u'^a$ . Pero a menudo es útil encontrar una notación menos desordenada, donde no se necesitan índices (ya sean superíndices o subíndices). Entonces, para este fin, definamos

tu = {{tu}^{a}} .

$U = \{ u^a \}.$ Esta ecuación afirma que el símbolo

U

$U$ se refiere al conjunto de componentes del 4-vector

u

$\bf u$ con respecto a la base de coordenadas no primadas. Aviso que ahora estoy usando

U

$U$ para el conjunto de componentes y

u

$\bf u$ para el 4-vector. A continuación vamos a definir

{tu}^{'} = {{tu}^{' a}} .

$U' = \{ u'^a \}.$ Esto afirma que el símbolo

U^{'}

$U'$ se refiere al conjunto de componentes del 4-vector

u

$\bf u$ con respecto a la base de coordenadas primadas. Ahora, si estamos haciendo relatividad especial donde la transformación es una transformación de Lorentz, entonces podemos escribir convenientemente la relación entre

U

$U$ y

U^{'}

$U'$ como:

{tu}^{'} = Λ tu

$U' = \Lambda U$ donde se entiende que los componentes de

Λ

$\Lambda$ están reunidos en un

4 \times 4

$4 \times 4$ matriz y las listas de componentes

U

$U$ y

U^{'}

$U'$ se expresarán como las componentes de los vectores columna, y

Λ U

$\Lambda U$ es la operación ordinaria de multiplicación de matrices. Esta es una notación bastante conveniente, por lo que se usa ampliamente, pero conduce a la confusión entre el conjunto de componentes y el vector de 4 en sí. En una transformación pasiva, como un cambio de marco de referencia inercial, el cuadrivector en sí no cambia, pero el conjunto de componentes cambia de

U

$U$ a

U^{'}

$U'$ . Así que estrictamente uno no debe llamar

U

$U$ aquí 'el 4-vector' sino más bien 'el conjunto de componentes del 4-vector con respecto al marco inercial no primado', y

U^{'}

$U'$ es el conjunto de componentes del cuadrivector con respecto al marco inercial primado.

Si no le gusta esta notación sin índice, no tiene que usarla. Para la relatividad especial, creo que es una notación bastante agradable, pero no la emplearía en GR, donde encuentro más claro ceñirme al uso de índices cuando uno se refiere a componentes. Esto no impide que uno se refiera directamente a los 4-vectores u otros tensores cuando lo desee.

Carcaj · Answer 2

Estoy de acuerdo en que el artículo de wikipedia es confuso. $A^\mu$ representa los componentes del vector $\mathbf{A}$ con respecto a los vectores base.

Gracias por su respuesta, entonces, si tuviera que multiplicarlo con vectores base, obtendría A, que es un vector. Escuché en alguna parte que si sumas sobre el mismo índice obtendrías un escalar. ¿Es correcto? Porque arriba sumamos sobre el mismo índice y obtuvimos un vector. Disculpen si mis preguntas son tontas soy un poco nuevo en el tema...
@BruceWayne Si suma los componentes de los vectores, obtendrá un escalar. En esa suma, básicamente estás tomando una combinación lineal de algunos vectores base con ciertos coeficientes

Ishika_96_chispa · Answer 3

La notación utilizada para un vector de cuatro en este artículo Wiki parece estar poniendo $\textbf{A}\equiv\textsf{A}^{\mu}$ .

donde, el índice griego recorre los cuatro índices de espacio-tiempo 0,1,2,3 y cada uno representa los componentes de este vector de 4 $\textrm{A}$ es decir { $A^0,A^1,A^2,A^3$ } con respecto al conjunto de vectores base mutuamente ortogonales ${\mathbf{E}_{\mu}}$ es decir { $E_0,E_1,E_2,E_3$ }.

Esto está en analogía directa con la representación vectorial habitual en 2D o 3D como un vector de columna\fila o un vector de fila, digamos $\vec{a}=\{a_1,a_2,a_3\}$ tomado en alguna base de unidad ortogonal $\hat{e}=\{\hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3\}$ .

La diferencia en la formulación de espacio-tiempo de 4 vectores son las nociones de índices covariantes y contravariantes y su álgebra.

¿Qué indican los índices en notación de 4 vectores?

Bruce Wayne

Notación

Álgebra de cuatro vectores

charlie

Bruce Wayne

charlie

Bruce Wayne

charlie

Bruce Wayne

charlie

Respuestas (3)

Andrés Steane

Carcaj

Bruce Wayne

Carcaj

Carcaj

Ishika_96_chispa

¿Cómo pensar en los componentes de 4-momentum?

¿Cómo determinamos si cierta cantidad física es un vector?

Invariancia del producto interno entre 4 velocidades bajo transformación general de coordenadas

¿Por qué es necesario que diferentes observadores estén de acuerdo en el valor del intervalo de espacio-tiempo ds2ds2ds^2?

Tener algunos problemas con la aceleración en coordenadas polares

Derivación de la Transformación de Lorentz a partir del Principio de Relatividad

Ambigüedad de dirección de la velocidad angular y el desplazamiento angular a partir de la relación ω=dϕdtω=dϕdt\boldsymbol{\omega}=\frac{d\boldsymbol{\phi}}{dt}

Derivación de transformaciones de Lorentz

¿Cómo funciona la notación de 4 vectores?

¿Es extraño que haya dos direcciones que son perpendiculares tanto al campo como a la corriente, pero la fuerza de Lorentz solo apunta a lo largo de una de ellas?