Tener algunos problemas con la aceleración en coordenadas polares

Ignorando el movimiento z en lo siguiente.

Marco de referencia: "laboratorio": aquel en el que gira la rotonda. Diestro, origen en el centro de la rotonda.

La trayectoria es una línea recta. No hay aceleración. La razón por la que la pelota no llega al centro se debe a que sus condiciones iniciales son tales: siempre hubo una tangencial inicial ($\hat{\theta}$) velocidad.

Marco de referencia: "giratorio"-- aquel en el que la rotonda está en reposo. Coincide con el laboratorio de$t=0$

En$\mathbf{t=0}$
El objeto solo tiene velocidad radial ($-\hat{r}$). En teoría, debería dar en el centro. La única razón por la que no lo hará es si algo lo aceleró tangencialmente. Esto viene de las pseudo-fuerzas. El objeto experimenta aceleración:

1. Coriolis:$\propto -\vec{\omega} \times \vec{v}$. Aquí, desde$\hat{v}=-\hat{r}$, la aceleración es exactamente lo que queremos: a lo largo$\hat{\theta}$.
2. Centrífugo:$\propto -\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$. Aquí, desde$\hat{v}=-\hat{r}$, la aceleración es a lo largo$\hat{r}$. No afectará golpear el centro.

En$\mathbf{t\gt0}$

1. El objeto comienza a moverse tangencialmente. Al mismo tiempo, su velocidad radial está siendo disminuida por la fuerza centrífuga. Además, la fuerza de Coriolis del movimiento tangencial también es centrífuga. En general, el objeto se mueve como si estuviera avanzando mientras se curva en la dirección de rotación (ver fig. 1 a continuación).
2. Eventualmente, el objeto se da la vuelta y parece estar escapando de la rotonda (ver fig. 2 a continuación).
3. ahora la dirección de la fuerza de Coriolis cambia....

Con todo, el objeto se mueve en una espiral cada vez mayor. Tenga en cuenta que la aceleración sigue cambiando en el tiempo.

Conclusión

Entonces, ¿de quién es el marco que debemos considerar? Depende del observador: si es la persona en la rotonda, es el marco giratorio. La aceleración final debe, por supuesto, incluir la gravedad. Los valores indicados para$\ddot{r}, \dot{r}, r, \ddot{\theta}, \dot{\theta}$parecen correctos para el marco del laboratorio.

En marco giratorio
$\ddot{r} \ne 0, \dot{r} = -20 \text{ ms}^{-1}, r \ne(3 - 20t)m, \ddot{\theta} \ne 0, \dot{\theta} = 0 \text{ rad s}^{-1}$

fig 2: Trayectoria inicialmente. (La curva azul es la trayectoria que se ve en el marco giratorio. El naranja es donde estaría la persona en el marco del laboratorio. Los ejes X e Y son las posiciones X e Y en metros)

fig 2: Trayectoria después de algún tiempo. (La curva azul es la trayectoria que se ve en el marco giratorio. El naranja es donde estaría la persona en el marco del laboratorio).

En cuanto a la fórmula que ha establecido, es aplicable solo a marcos inerciales. En particular, para marcos giratorios, utilice ($'$denota marco giratorio)

$$m\vec{a}'=\vec{F}' -m\frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}' -2 m \vec{\omega} \times m \vec{v}' -m\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}')$$ con $$\vec{F}'= \hat{r}’(\ddot{r}’ - r'\dot{\theta}’^2) + \hat{\theta}’(r'\ddot{\theta}’ + 2\dot{r}’\dot{\theta}’)\\ \vec{v}'=\dot{r}'\hat{r}'+r'\dot{\theta}'\hat{\theta}'$$
En$t=0$, sin fuerza aplicada
$$\vec{\omega}=\omega\hat{z}'\\ \vec{r}'=R \vec{\hat{r}}'\\ \vec{v}=-v \vec{\hat{r}}'\\ \vec{F}'=0\\\ $$ obtenemos $$\vec{a}'=2 m \omega v \hat{\theta}'+m \omega^{2}R\hat{r}'$$

Tal vez esto anule el objetivo del ejercicio, pero me parece que si quieres saber qué hace la bola de nieve, ¿por qué no simplemente calcular el movimiento de la bola de nieve, que no tiene nada que ver con el movimiento de la rotonda? Simplemente vuela en una parábola, cuya parte horizontal es una línea recta con respecto al suelo. Si la velocidad inicial es hacia el centro de la rotonda, golpeará el centro de la rotonda.

Incluso si tiene la intención de realizar un cálculo en algún otro marco, seguramente ayuda saber cuál es la respuesta cuando se calcula de la manera más fácil.

La velocidad radial inicial es la causa del desvío en un marco giratorio.

En equilibrio dinámico circunferencial, la aceleración de Coreolis equilibra la aceleración angular

Si la gravedad está presente, agrega desplazamiento en la dirección vertical pero no afecta el desplazamiento en el plano del tiovivo giratorio; por lo tanto, ignoraré el efecto de la gravedad.

En el marco de inercia, no hay fuerza, por lo tanto, no hay aceleración, pero la pelota tiene una velocidad inicial tangencial y radial. Tangencial por el movimiento del tiovivo giratorio y radial por la persona que lanza la pelota. La pelota no llega al centro ya que la velocidad inicial no es puramente radial. Tu relación por la aceleración$\vec a$en coordenadas polares está en el marco inercial y en este marco$\vec a = 0$ya que no hay fuerza neta en el marco de inercia. Como no hay fuerza, la pelota se mueve a velocidad constante, en línea recta, pero no llega al centro.

En el marco no inercial que gira con el tiovivo, la velocidad inicial se dirige hacia el centro. Pero, la aceleración en este marco no es cero debido a fuerzas ficticias, por lo que la velocidad en este marco no es constante. @lineage le da la ecuación de movimiento en el marco giratorio no inercial como$m\vec a'$. Su$\vec F'$es la fuerza total en el marco de inercia y es cero como se discutió preciosamente; sus otros términos para$m\vec a'$incluyen todas las fuerzas ficticias debidas a la rotación en general. Para este problema,$\vec \omega$es constante por lo que la fuerza ficticia$-m{d\vec \omega \over dt} \times \vec r'$, a veces llamada fuerza de Euler, es cero. Las dos fuerzas ficticias restantes$-m\vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r')$, la fuerza centrífuga y$-2m\vec \omega \times {d\vec r' \over dt}$, la fuerza de Coriolis, afectan el movimiento como se ve en el marco giratorio. La fuerza centrífuga es radialmente hacia afuera, por lo que no impide que la bola se mueva hacia el centro. La fuerza de Coriolis es la fuerza ficticia en el marco giratorio no inercial que evita que la pelota se mueva hacia el centro.

La posición de la partícula en función del tiempo se puede producir resolviendo la ecuación de movimiento en el marco giratorio inercial o no inercial. Para este problema, el movimiento en el marco inercial usando coordenadas cartesianas es una línea recta ya que no hay fuerza, y el movimiento usando coordenadas polares tanto en el marco inercial como rotatorio se puede desarrollar usando trigonometría.

En la Figura 1, P(t) es la posición de la pelota en el tiempo t, y se expresa utilizando tres conjuntos diferentes de coordenadas: Cartesianas$(x, y)$en el marco inercial, polar$( r, \theta)$en el marco inercial y polar$(r, \beta)$en el marco giratorio no inercial. El marco giratorio se muestra en rojo y tiene un ángulo$\alpha (t)$con respecto al marco inercial;${d\alpha (t) \over dt} = \omega$es constante P(t) en las tres coordenadas se evalúa en la Figura 1.

La figura 2 muestra el movimiento en el marco inercial cartesiano. La Figura 3 muestra el movimiento utilizando coordenadas polares tanto en el marco de inercia como en el de rotación;$r(t)$es el mismo en ambos marcos.