Invariancia del producto interno entre 4 velocidades bajo transformación general de coordenadas

Trabajando en la convención (+ - - -). Para simplificar, suponga que la métrica es diagonal (esta prueba aún se mantiene si no lo es, es más larga):

$$\begin{equation} d \tau^2 = g_{00} dt^2 + g_{xx} dx^2 + g_{yy} dy^2 + g_{zz} dz^2 \\ 1 = g_{00} \left(\frac{dt}{d\tau} \right)^2 + g_{xx} \left( \frac{dx}{d\tau}\right)^2 + g_{yy} \left(\frac{dy}{d\tau}\right)^2 + g_{zz} \left( \frac{dz}{d\tau} \right)^2 \\ 1 = g_{00} \left(\frac{dx^0}{d\tau} \right)^2 + g_{xx} \left( \frac{dx^1} {d\tau}\right)^2 + g_{yy} \left(\frac{dx^1}{d\tau}\right)^2 +g_{zz} \left( \frac{dx^2}{d\tau} \right)^2 \\ 1 = g_{00} \left(u^0 \right)^2 + g_{xx} \left( u^1\right)^2 + g_{yy} \left(u^2\right)^2 +g_{zz} \left( u^3 \right)^2\\ 1 = g_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu} \implies u^{\mu} u_{\mu} = 1. \end{equation}$$

Creo que tu error está en la línea 2, pero no entiendo muy bien qué estás haciendo allí, así que no estoy seguro de poder ayudarte.

La definición de tiempo adecuado que usaste es incorrecta. Para encontrar el tiempo adecuado, no puede simplemente sustituirlo por el tiempo "regular". En la relatividad especial, no notas este problema como$g_{00}$tiene norma unitaria, pero en relatividad general hay que recordar que

$d\tau^2=ds'^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu \Rightarrow u^{a} u_{a} =\frac{d x^{a} d x_{a}}{(d \tau)^{2}} =\frac{d x^{a} d x_{a}}{d s^{2}} =1$

que es invariante. Vea el ejemplo en esta discusión o la definición en Wikipedia .